線性代數基礎


線性代數基礎

向量

就是有方向的量,只有方向和長度,沒有位置信息。我們在考察向量時,總是以世界坐標系的原點,向它所在的方向投射指定的長度。

  • 向量加法: 將向量的各項分別相加。
    V1 = (1, 0), V2 = (0.5, 0.5)
    V3 = V1 + V2 = (1, 0) + (0.5, 0.5) = (1.5, 0.5)

  • 向量減法: 將向量的各項分別相減。
    V1 = (0.7, 1.5), V2 = (0.5, 0.5)
    V3 = V1 + V2 = (0.7, 1.5) - (0.5, 0.5) = (0.2, 1.0)

  • 向量和標量的乘法: 把標量和向量中的每個分量分別相乘。
    V = (1, 2, 2), D = 2
    R = V * D = 2 * (1, 2, 2) = (2, 4, 4)

  • 向量和標量的乘法: 把標量和向量中的每個分量分別相乘。
    V = (1, 2, 2), D = 2
    R = V * D = 2 * (1, 2, 2) = (2, 4, 4)

  • 向量點積: 發生在向量和向量之間。點積的結果是一個標量值。
    V1 = (1, 0),V2 = (0.5, 0.86
    點積 = Dot(V1, V2) = V1 * V2 = (1, 0) * (0.5, 0.866) = (1*0.5 + 0*0.866) = 0.5
    **向量點積的幾何意義:
    Dot(V1, V2) = ||V1|| * ||V2|| * cos(ɑ)
    cos(ɑ) = Dot(V1, V2) / (|V1|| * ||V2||)**
    一般的情況,只要夾角小於90度,他們的點積總是>0,如果夾角剛好是90度,點積則=0,如果夾角大於90度,點積會是一個負數。

  • 向量叉乘: 運算結果還是一個向量。它的運算法則是交叉相乘。
    V1 = (1, 0, 0),V2 = (0, 1, 0)
    叉乘公式

    向量叉乘的幾何意義
    兩個向量的叉積得到了新的向量,它垂直於原來的兩個向量所在平面。當某個向量垂直於一個平面,可以看作這個平面的法向量。
    叉積運算是有順序的, V1 x V2 和 V2 x V1 的叉積值是不一樣的。順序不同,新的法向量的方向是相反的。


矩陣

  • 矩陣的轉置
    矩陣的轉置就是把矩陣的行變成列。比如把第一行變成第一列,第二行變成第二列。
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  • 矩陣和標量的乘法
    一個矩陣和標量相乘,就是用標量與矩陣每一個元素依次相乘。得到的矩陣與原矩陣的維度是一樣的。
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  • 矩陣和矩陣的乘法
    用第一個矩陣的第一行的每個分量,與第二個矩陣的第一列的分量相乘,將結果相加,得到新的分量。
    這里寫圖片描述
    矩陣與矩陣相乘,其結果與兩個矩陣的順序是有關的,不同的順序,結果是不一樣的。
    兩個內部維度不同的矩陣是不能夠相乘的。
    一個 N * M階與S * T階矩陣相乘,必須滿足 M和S維度相同,乘法結果是一個N * T階矩陣。
    這里寫圖片描述



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