對數的發展史


教材分析:對數產生於17世紀初葉,為了適應航海事業的發展,需要確定航程和船舶的位置,為了適應天文事業的發展,需要處理觀測行星運動的數據,就是為了解決很多位數的數字繁雜的計算而產生了對數恩格斯曾把對數的發明與解析幾何學的產生、微積分學的創始並稱為17世紀數學的三大成就,給予很高的評價今天隨着計算器的普及和電子計算機的廣泛使用以及航天航海技術的不斷進步,利用對數進行大數的計算功能的歷史使命已基本完成,已被新的運算工具所取代,因此中學對於傳統的對數內容進行了大量的刪減但對數函數應用還是廣泛的,后續的教學內容也經常用到

    本節講對數的定義和運算性質的目的主要是為了學習對數函數對數概念與指數概念有關,是在指數概念的基礎上定義的,在一般對數定義logaN(a>0,a≠1)之后,給出兩個特殊的對數:一個是當底數a=10時,稱為常用對數,簡記作lgN=b ;另一個是底數a=e(一個無理數)時,稱為自然對數,簡記作lnN =b這樣既為學生以后學習或讀有關的科技書給出了初步知識,也使教材大大簡化,只保留到學習對數函數知識夠用即可

對數的創始人是蘇格蘭數學家納皮爾(Napier,1550年~1617年)。他發明了供天文計算作參考的對數,並於1614年在愛丁堡出版了《奇妙的對數定律說明書》,公布了他的發明。恩格斯把對數的發明與解析幾何的創始,微積分的建立並稱為17世紀數學的三大成就。 

1)已知a, b,求N乘方運算

 2)已知b, N,求a開方運算

  3)已知a, N,求b對數運算

“對數”(logarithm)一詞源自於希臘,表

示思想的文字或記號,也可作“計算”或

“比率”。由於16世紀的天文星象的觀測、

航海、測量、地圖的繪製等,需要大量且龐

雜的數字乘除開方運算,這種化乘除為加減

的運算工具,即為對數。

而對數的創始人是蘇格蘭數學家那皮爾。於

是我們用了logarithm這個英文單字,取其前

三個字母log來表示      中,與指數式中其

他數值之間的關係。例如:     ,即是23

次方是8,反之以2為底數時,多少次方可得

8呢?這個3的值就是對數,作        

1

自然對數的由來 

 

這里的e是一個數的代表符號,而我們要說的,便是e的故事。這倒叫人有點好奇了,要能說成一本書,這個數應該大有來頭才是,至少應該很有名吧?但是搜索枯腸,大部分人能想到的重要數字,除了眾人皆知的0及1外,大概就只有和圓有關的π了,了不起再加上虛數單位的i=√-1。這個e究竟是何方神聖呢?  
在高中數學里,大家都學到過對數(logarithm)的觀念,也用過對數表。教科書里的對數表,是以10為底的,叫做常用對數(common logarithm)。課本里還簡略提到,有一種以無理數e=2.71828……為底數的對數,稱為自然對數(natural logarithm),這個e,正是我們故事的主角。不知這樣子說,是否引起你更大的疑惑呢?在十進位制系統里,用這樣奇怪的數為底,難道會比以10為底更「自然」嗎?更令人好奇的是,長得這麼奇怪的數,會有什麼故事可說呢?  
這就要從古早時候說起了。至少在微積分發明之前半個世紀,就有人提到這個數,所以雖然它在微積分里常常出現,卻不是隨著微積分誕生的。那麼是在怎樣的狀況下導致它出現的呢?一個很可能的解釋是,這個數和計算利息有關。  
我們都知道復利計息是怎麼回事,就是利息也可以並進本金再生利息。但是本利和的多寡,要看計息周期而定,以一年來說,可以一年只計息一次,也可以每半年計息一次,或者一季一次,一月一次,甚至一天一次;當然計息周期愈短,本利和就會愈高。有人因此而好奇,如果計息周期無限制地縮短,比如說每分鍾計息一次,甚至每秒,或者每一瞬間(理論上來說),會發生什麼狀況?本利和會無限制地加大嗎?答案是不會,它的值會穩定下來,趨近於一極限值,而e這個數就現身在該極限值當中(當然那時候還沒給這個數取名字叫e)。所以用現在的數學語言來說,e可以定義成一個極限值,但是在那時候,根本還沒有極限的觀念,因此e的值應該是觀察出來的,而不是用嚴謹的證明得到的。  
包羅萬象的e  
讀者恐怕已經在想,光是計算利息,應該不至於能講一整本書吧?當然不,利息只是極小的一部分。令人驚訝的是,這個與計算復利關系密切的數,居然和數學領域不同分支中的許多問題都有關聯。在討論e的源起時,除了復利計算以外,事實上還有許多其他的可能。問題雖然都不一樣,答案卻都殊途同歸地指向e這個數。比如其中一個有名的問題,就是求雙曲線y=1/x底下的面積。雙曲線和計算復利會有什麼關系,不管橫看、豎看、坐著想、躺著想,都想不出一個所以然對不對?可是這個面積算出來,卻和e有很密切的關聯。我才舉了一個例子而已,這本書里提到得更多。  
如果整本書光是在講數學,還說成是說故事,就未免太不好意思了。事實上是,作者在探討數學的同時,穿插了許多有趣的相關故事。比如說你知道第一個對數表是誰發明的嗎?是納皮爾(John Napier)。沒有聽說過?這很正常,我也是讀到這本書才認識他的。重要的是要下一個問題。你知道納皮爾花了多少時間來建構整個對數表嗎?請注意這是發生在十六世紀末、十七世紀初的事情,別說電腦和計算機了,根本是什麼計算工具也沒有,所有的計算,只能利用紙筆一項一項慢慢地算,而又還不能利用對數來化乘除為加減,好簡化計算。因此納皮爾整整花了二十年的時間建立他的對數表,簡直是匪夷所思吧!試著想像一下二十年之間,每天都在重復做同類型的繁瑣計算,這種乏味的日子絕不是一般人能忍受的。但納皮爾熬過來了,而他的辛苦也得到了報償——對數受到了熱切的歡迎,許多歐洲甚至中國的科學家都迅速采用,連納皮爾也得到了來自世界各地的贊譽。最早使用對數的人當中,包括了大名鼎鼎的天文學家刻卜勒,他利用對數,簡化了行星軌道的繁復計算。  
在《毛起來說e》中,還有許多我們在一般數學課本里讀不到的有趣事實。比如第一本微積分教科書是誰寫的呢?(假如你曾受微積分課程之苦,也會想知道誰是「始作俑者」吧?」)是羅必達先生。對啦,就是羅必達法則(L'Hospital's Rule)的那位羅必達。但是羅必達法則反倒是約翰.伯努利先發現的。不過這無關乎剽竊的問題,他們之間是有協議的。  
說到伯努利可就有故事說了,這個家族實在不得了,別的家族出一位天才就可以偷笑了,而他們家族的天才是用「量產」形容。伯努利們前前后后在數學領域中活躍了一百年,他們的諸多成就(不僅止於數學領域),就算隨便列一列,也有一本書這麼厚。不過這個家族另外擅長的一件事就不太敢恭維了,那就是吵架。自家人吵不夠,也跟外面的人吵(可說是「表里如一」)。連爸爸與兒子合得一個大獎,爸爸還非常不滿意,覺得應該由自己獨得,居然氣得把兒子趕出家門;和現代的許多「孝子」們比起來,這位爸爸真該感到慚愧。  
e的「影響力」其實還不限於數學領域。大自然中太陽花的種子排列、鸚鵡螺殼上的花紋都呈現螺線的形狀,而螺線的方程式,是要用e來定義的。建構音階也要用到e,而如果把一條鏈子兩端固定,松松垂下,它呈現的形狀若用數學式子表示的話,也需要用到e。這些與計算利率或者雙曲線面積八竿子打不著的問題,居然統統和e有關,豈不奇妙?  
數學其實沒那麼難!  
我們每個人的成長過程中都讀過不少數學,但是在很多人心目中,數學似乎是門無趣甚至可怕的科目。尤其到了大學的微積分,到處都是定義、定理、公式,令人望之生畏。我們會害怕一個學科的原因之一,是有距離感,那些微積分里的東西,好像不知是從哪兒冒出來的,對它毫無感覺,也覺得和我毫無關系。如果我們知道微積分是怎麼演變、由誰發明的,而發明之時還發生了些什麼事(微積分是誰發明的這件事,爭論了許多年,對數學發展產生重大的影響),發明者又是什麼樣的人等等,這種距離感就應該會減少甚至消失,微積分就不再是「陌生人」了。 

 

 

在歷史上,自然對數的底e與曾一個商人借錢的利息有關。

過去,有個商人向財主借錢,財主的條件是每借1元,一年后利息是1元,即連本帶利還2元,年利率100%。利息好多喔!財主好高興。財主想,半年的利率為50%,利息是1.5元,一年后還1.52=2. 25元。半年結一次帳,利息比原來要多。財主又想,如果一年結3次,4次,……365次,……,豈不發財了?

財主算了算,結算3次,利率為 ,1元錢一年到期的本利和是: ,

結算4次,1元錢到一年時還 。

財主還想,一年結算1000次,其利息是:

這么大的數,年終肯定發財了。可是,財主算了算,一元錢結帳1000次,年終還的金額只有:

這令財主大失所望。他以為,結帳次數越多,利息也就增長得越快。財主根本不知道, 的值是隨n的增大而增大,但增加的數額極其緩慢;並且,不管結算多少次,連本帶利的總和不可能突破一個上限。數學家歐拉把 極限記作ee=2.71828…,即自然對數的底。

n 0123、 4、 5、 6、 、 、 、 10 、 11 、 12 、 13 、 14 …… 

2^n 1248163264128256512102420484096819216384…… 

這兩行數字之間的關系是極為明確的:第一行表示2的指數,第二行表示2的對應冪。如果我們要計算第二行中兩個數的乘積,可以通過第一行對應數字的加和來實現。比如,計算64×256的值,就可以先查詢第一行的對應數字:64對應6256對應8;然后再把第一行中的對應數字加和起來:6814;第一行中的14,對應第二行中的16384,所以有:64×25616384。納皮爾的這種計算方法,實際上已經完全是現代數學中對數運算的思想了。回憶一下,我們在中學學習運用對數簡化計算的時候,采用的不正是這種思路嗎:計算兩個復雜數的乘積,先查《常用對數表》,找到這兩個復雜數的常用對數,再把這兩個常用對數值相加,再通過《常用對數的反對數表》查出加和值的反對數值,就是原先那兩個復雜數的乘積了。這種化乘除為加減,從而達到簡化計算的思路,不正是對數運算的明顯特征嗎?經過多年的探索,納皮爾男爵於1614年出版了他的名著《奇妙的對數定律說明書》,向世人公布了

其值是2.71828……,是這樣定義的: 
n->∞時,(1+1/n)^n的極限。 
注:x^y表示xy次方。 

你看,隨着n的增大,底數越來越接近1,而指數趨向無窮大,那結果到底是趨向於1還是無窮大呢?其實,是趨向於2.718281828……這個無限不循環小數

延長天文學家壽命的發現——納皮爾發現對數

  自古以來,人們的日常生活和所從事的許多領域,都離不開數值計算,並且隨着人類社會的進步,對計算的速度和精確程度的需要愈來愈高,這就促進了計算技術的不斷發展。印度阿拉伯記數法、十進小數和對數是文藝復興時期計算技術的三大發明,它們是近代數學得以產生和發展的重要條件。其中對數的發現,曾被18世紀法國大數學家、天文學家拉普拉斯評價為“用縮短計算時間延長了天文學家的壽命”。


對數思想的萌芽


  對數的基本思想可以追溯到古希臘時代。早在公元前500年,阿基米德就研究過幾個10的連乘積與10的個數之間的關系,用現在的表達形式來說,就是研究了這樣兩個數列:1,10,102,103,104,105,……;0,1,2,3,4,5,……

  他發現了它們之間有某種對應關系。利用這種對應可以用第二個數列的加減關系來代替第一個數列的乘除關系。阿基米德雖然發現了這一規律,但他卻沒有把這項工作繼續下去,失去了對數破土而出的機會。

  2000年后,一位德國數學家對對數的產生作出了實質性貢獻,他就是史蒂非。1514年,史蒂非重新研究了阿基米德的發現,他寫出兩個數列:0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11……;1 2 4 8 16 32 64 128 256 512 1024 2048……

  他發現,上一排數之間的加、減運算結果與下一排數之間的乘、除運算結果有一種對應關系,例如,上一排中的兩個數2、5之和為7,下一排對應的兩個數4、32之積128正好就是2的7次方。實際上,用后來的話說,下一列數以2為底的對數就是上一列數,並且史蒂非還知道,下一列數的乘法、除法運算,可以轉化為上一列數的加法、減法運算。例如,23×25=23+5,等等。

  就在史蒂非悉心研究這一發現的時候,他遇到了困難。由於當時指數概念尚未完善,分數指數還沒有認識,面對像17×63,1025÷33等情況就感到束手無策了。在這種情況下,史蒂非無法繼續深入研究下去,只好停止了這一工作。但他的發現為對數的產生奠定了基礎。


納皮爾的功績


  15、16世紀,天文學得到了較快的發展。為了計算星球的軌道和研究星球之間的位置關系,需要對很多的數據進行乘、除、乘方和開方運算。由於數字太大,為了得到一個結果,常常需要運算幾個月的時間。繁難的計算苦惱着科學家,能否找到一種簡便的計算方法?數學家們在探索、在思考。如果能用簡單的加減運算來代替復雜的乘除運算那就太好了!這一夢想終於被英國數學家納皮爾實現了。

  納皮爾於1550年生於蘇格蘭的愛丁堡。他家是蘇格蘭的貴族,他13歲入聖安德盧斯大學學習,后來留學歐洲,1571年回到家鄉。納皮爾是一位地主,他曾在自己的田地里進行肥料施肥試驗,研究過飼料的配合,還設計制造過抽水機。他的興趣十分廣泛,一方面熱衷於政治和宗教斗爭,一方面投身於數學研究。他在球面三角學的研究中有一系列突出的成果。

  納皮爾研究對數的最初目的,就是為了簡化天文問題的球面三角的計算,他也是受了等比數列的項和等差數列的項之間的對應關系的啟發。納皮爾在兩組數中建立了這樣一種對應關系:當第一組數按等差數列增加時,第二組數按等比數列減少。於是,后一組數中每兩個數之間的乘積關系與前一組數中對應的兩個數的和,建立起了一種簡單的關系,從而可以將乘法歸結為加法運算。在此基礎上,納皮爾借助運動概念與連續的幾何量的結合繼續研究。

  納皮爾畫了兩條線段,設AB是一條定線段,CD是給定的射線,令點P從A出發,沿AB變速運動,速度跟它與B的距離成比例地遞減。同時,令點Q從C出發,沿CD作勻速運動,速度等於P出發時的值,納皮爾發現此時P、Q運動距離有種對應關系,他就把可變動的距離CQ稱為距離PB的對數。

納皮爾

納皮爾的棋盤計算器

納皮爾骨算籌


  當時,還沒有完善的指數概念,也沒有指數符號,因而實際上也沒有“底”的概念,他把對數稱為人造的數。對數這個詞是納皮爾創造的,原意為“比的數”。

  他研究對數用了20多年時間,1614年,他出版了名為《奇妙的對數定理說明書》的著作,發表了他關於對數的討論,並包含了一個正弦對數表。

  有趣的是同一時刻瑞士的一個鍾表匠比爾吉也獨立發現了對數,他用了8年時間編出了世界上最早的對數表,但他長期不發表它。直到1620年,在開普勒的懇求下才發表出來,這時納皮爾的對數已聞名全歐洲了。


對數的完善


  納皮爾的對數著作引起了廣泛的注意,倫敦的一位數學家布里格斯於1616年專程到愛丁堡看望納皮爾,建議把對數作一些改進,使1的對數為0,10的對數為1等等,這樣計算起來更簡便,也將更為有用。次年納皮爾去世,布里格斯獨立完成了這一改進,就產生了使用至今的常用對數。1617年,布里格斯發表了第一張常用對數表。1620年,哥萊斯哈姆學院教授甘特試作了對數尺。

  當時,人們並沒有把對數定義為冪指數,直到17世紀末才有人認識到對數可以這樣來定義。1742年,威廉斯把對數定義為指數並進行系統敘述。現在人們定義對數時,都借助於指數,並由指數的運算法則推導出對數運算法則。可在數學發展史上,對數的發現卻早於指數,這是數學史上的珍聞。

  解析幾何與微積分出現以后,人們在研究曲線下的面積時,發現了面積與對數的聯系。比如,聖文森特的格雷果里在研究雙曲線xy=1下的面積時,發現面積函數很像一個對數,后來他的學生沙拉薩第一個把面積解釋為對數。但當時並沒有認識到對數和雙曲線下面積之間的確切關系,更沒有認識到自然對數就是以e為底的對數。

  后來,牛頓也研究過此類問題。歐拉在1748年引入了以a為底的x的對數logax這一表示形式,以作為滿足ay=x的指數y。並對指數函數和對數函數作了深入研究。而復變函數的建立,使人們對對數有了更徹底的了解。


天文學家的欣喜


  對數的出現引起了很大的反響,不到一個世紀,幾乎傳遍世界,成為不可缺少的計算工具。其簡便算法,對當時的世界貿易和天文學中大量繁難計算的簡化,起了重要作用,尤其是天文學家幾乎是以狂喜的心情來接受這一發現的。1648年,波蘭傳教士穆尼閣把對數傳到中國。

  在計算機出現以前,對數是十分重要的簡便計算技術,曾得到廣泛的應用。對數計算尺幾乎成了工程技術人員、科研工作者離不了的計算工具。直到20世紀發明了計算機后,對數的作用才為之所替代。但是,經過幾代數學家的耕耘,對數的意義不再僅僅是一種計算技術,而且找到了它與許多數學領域之間千絲萬縷的聯系,對數作為數學的一個基礎內容,表現出極其廣泛的應用。

  1971年,尼加拉瓜發行了一套郵票,尊崇世界上“十個最重要的數學公式”。每張郵票以顯著位置標出一個公式並配以例證,其反面還用西班牙文對公式的重要性作簡短說明。有一張郵票是顯示納皮爾發現的對數。

  對數、解析幾何和微積分被公認是17世紀數學的三大重要成就,恩格斯贊譽它們是“最重要的數學方法”。伽利略甚至說:“給我空間、時間及對數,我即可創造一個宇宙。”

 

 

高中教師常用一則自然對數的底數e笑話,幫助學生記憶一個很特別的微分公式:在一家精神病院里,有個病患整天對着別人說,我微分你、我微分你。也不知為什么,這些病患都有一點簡單的微積分概念,總以為有一天自己會像一般多項式函數般,被微分到變成零而消失,因此對他避之不及,然而某天他卻遇上了一個不為所動的人,他很意外,而這個人淡淡地對他說,我是ex次方。” 

這個微分公式就是:e不論對x微分幾次,結果都還是e!難怪數學系學生會用e比喻堅定不移的愛情!

這個東西沒有為什么,也不見得全世界的人都是按照我們的這種學法。為何就不能按照歷史產生的順序,先學習對數,然后根據需要再引入指數函數?因為我們現在的數學教育太注重表面的東西,而對數學的實質則挖掘得太少了。 

為什么發明對數,因為當時人們認為乘除法運算太復雜,而加減法運算則簡單,那能不能把乘除轉化為加減運算呢?Napier想到了,這就是對數。我們學的時候,為什么就不能先把這個背景說出來,然后引出對數呢?因為我們現在的數學課程體系的原因,不可能按照這種思路來學。其實數學的發展順序和學數學的順序不一樣,這是大家都有的一個共同問題,關鍵在於在學完數學之后一定要了解一下當時數學是怎么發展的。

對數的歷史 
對數是中學初等數學中的重要內容,那么當初是誰首創對數這種高級運算的呢?在數學史上,一般認為對數的發明者是十六世紀末到十七世紀初的蘇格蘭數學家——納皮爾(Napier1550-1617年)男爵。在納皮爾所處的年代,哥白尼的太陽中心說剛剛開始流行,這導致天文學成為當時的熱門學科。可是由於當時常量數學的局限性,天文學家們不得不花費很大的精力去計算那些繁雜的天文數字,因此浪費了若干年甚至畢生的寶貴時間。納皮爾也是當時的一位天文愛好者,為了簡化計算,他多年潛心研究大數字的計算技術,終於獨立發明了對數。當然,納皮爾所發明的對數,在形式上與現代數學中的對數理論並不完全一樣。在納皮爾那個時代,指數這個概念還尚未形成,因此納皮爾並不是像現行代數課本中那樣,通過指數來引出對數,而是通過研究直線運動得出對數概念的。那么,當時納皮爾所發明的對數運算,是怎么一回事呢?在那個時代,計算多位數之間的乘積,還是十分復雜的運算,因此納皮爾首先發明了一種計算特殊多位數之間乘積的方法。讓我們來看看下面這個例子: 

n 0123、 4、 5、 6、 、 、 、 10 、 11 、 12 、 13 、 14 …… 

2^n 1248163264128256512102420484096819216384…… 

這兩行數字之間的關系是極為明確的:第一行表示2的指數,第二行表示2的對應冪。如果我們要計算第二行中兩個數的乘積,可以通過第一行對應數字的加和來實現。比如,計算64×256的值,就可以先查詢第一行的對應數字:64對應6256對應8;然后再把第一行中的對應數字加和起來:6814;第一行中的14,對應第二行中的16384,所以有:64×25616384。納皮爾的這種計算方法,實際上已經完全是現代數學中對數運算的思想了。回憶一下,我們在中學學習運用對數簡化計算的時候,采用的不正是這種思路嗎:計算兩個復雜數的乘積,先查《常用對數表》,找到這兩個復雜數的常用對數,再把這兩個常用對數值相加,再通過《常用對數的反對數表》查出加和值的反對數值,就是原先那兩個復雜數的乘積了。這種化乘除為加減,從而達到簡化計算的思路,不正是對數運算的明顯特征嗎?經過多年的探索,納皮爾男爵於1614年出版了他的名著《奇妙的對數定律說明書》,向世人公布了他的這項發明,並且解釋了這項發明的特點。所以,納皮爾是當之無愧的對數締造者,理應在數學史上享有這份殊榮。偉大的導師恩格斯在他的著作《自然辯證法》中,曾經把笛卡爾的坐標、納皮爾的對數、牛頓和萊布尼茲的微積分共同稱為十七世紀的三大數學發明。法國著名的數學家、天文學家拉普拉斯(PierreSimonLaplace1749-1827)曾說對數可以縮短計算時間,在實效上等於把天文學家的壽命延長了許多倍

以上談的都是以10為底的對數,除此之外還有自然對數,這個名字是1610年倫敦的數學家司皮得爾在《新數學》里出現的。 
我們知道,一般對數的底可以為任意不等於1的正數。即對數的底如果為超越數e(e=2.718)我們就把這樣的對數叫作自然對數,用符號“LN”表示。在這里“1”是對數“logarithm"的第一個字母,“N”是自然“nature"的第一個字母,把兩個字母合在一起,就表示自然對數。 
自然對數的出現,給數學界帶來了一場革命。

對數函數的歷史:

  16世紀末至17世紀初的時候,當時在自然科學領域(特別是天文學)的發展上經常遇到大量精密而又龐大的數值計算,於是數學家們為了尋求化簡的計算方法而發明了對數。 

  德國的史提非(1487-1567)在1544年所著的《整數算術》中,寫出了兩個數列,左邊是等比數列(叫原數),右邊是一個等差數列(叫原數的代表,或稱指數,德文是Exponent ,有代表之意)。 

  欲求左邊任兩數的積(商),只要先求出其代表(指數)的和(差),然后再把這個和(差)對向左邊的一個原數,則此原數即為所求之積(商),可惜史提非並未作進一步探索,沒有引入對數的概念。 

  納皮爾對數值計算頗有研究。他所制造的「納皮爾算籌」,化簡了乘除法運算,其原理就是用加減來代替乘除法。 他發明對數的動機是為尋求球面三角計算的簡便方法,他依據一種非常獨等的與質點運動有關的設想構造出所謂對數方 法,其核心思想表現為算術數列與幾何數列之間的聯系。在他的《奇妙的對數表的描述》中闡明了對數原理,后人稱為 納皮爾對數,記為Nap.㏒x,它與自然對數的關系為 

  Nap.㏒x=107(107/x) 

  由此可知,納皮爾對數既不是自然對數,也不是常用對數,與現今的對數有一定的距離。 

  瑞士的彪奇(1552-1632)也獨立地發現了對數,可能比納皮爾較早,但發表較遲(1620)。 

  英國的布里格斯在1624年創造了常用對數。 

  1619年,倫敦斯彼得所著的《新對數》使對數與自然對數更接近(以e=2.71828...為底)。 

  對數的發明為當時社會的發展起了重要的影響,正如科學家伽利略(1564-1642)說:「給我時間,空間和對數,我可以創造出一個宇宙」。又如十八世紀數學家拉普拉斯( 1749-1827)亦提到:「對數用縮短計算的時間來使天文學家的壽命加倍」。 

  最早傳入我國的對數著作是《比例與對數》,它是由波蘭的穆尼斯(1611-1656)和我國的薛鳳祚在17世紀中葉合 編而成的。當時在lg2=0.3010中,2叫「真數」,0.3010叫做「假數」,真數與假數對列成表,故稱對數表。后來改用 「假數」為「對數」。 

  我國清代的數學家戴煦(1805-1860)發展了多種的求對數的捷法,著有《對數簡法》(1845)、《續對數簡法》(1846)等。1854年,英國的數學家艾約瑟(1825-1905) 看到這些著作后,大為嘆服。 

當今中學數學教科書是先講「指數」,后以反函數形式引出「對數」的概念。但在歷史上,恰恰相反,對數概念不是來自指數,因為當時尚無分指數及無理指數的明確概念。布里格斯曾向納皮爾提出用冪指數表示對數的建議。1742年 ,J.威廉(1675-1749)在給G.威廉的《對數表》所寫的前言中作出指數可定義對數。而歐拉在他的名著《無窮小 分析尋論》(1748)中明確提出對數函數是指數函數的逆函數,和現在教科書中的提法一致。

復數域的對數有定義 
先看復指數 
根據歐拉公式(歐拉對復指數的定義;這個公式被譽為數學界中最美妙的公式之一)為: 
e^(iA)=cosA+isinA(e為自然底數,即e約為2.71828...A為實數;事實上A為虛數亦可,但會導致cosAA為復數,研究它比較費時,在此不作討論) 
那么根據這個公式,任何復數都對應着一個對數(包括負數都有!不過0就沒有) 
轉換方式如下: 
對復數z(z不為0),考慮將它換算成三角形式z=r(cosA+isinA) 
其中r為該復數的模長,r>0 
那么我們對z取自然對數,就根據歐拉公式有 
lnz=ln[r(cosA+isinA)]=lnr+ln(cosA+isinA) 
=lnr+ln[e^(iA)]=lnr+iA 
因此x=lnr+iA這就是z的自然對數


注意!

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