線性代數——矩陣二


1.轉置矩陣

將矩陣A的行和列互換得到的矩陣稱為矩陣A的轉置矩陣,記為AT

(AB)T=BTAT

2.逆矩陣

設矩陣A和B都是n階方陣,若AB=E則稱B是A的逆矩陣。

(AB)-1=B-1A-1

3.相似矩陣

設A,B為n階 矩陣,如果有n階 可逆矩陣P存在,使得P -1AP=B則稱矩陣A與B相似,記為A~B。

4.奇異與非奇異矩陣

若n階方陣A的行列式等於0則稱方陣A是奇異矩陣,若n階方陣A的行列式不等於0,則稱A為非奇異矩陣。

判斷條件:

(1)首先,看這個矩陣是不是方陣(即行數和列數相等的矩陣。若行數和列數不相等,那就談不上奇異矩陣和非奇異矩陣)。

(2)此矩陣的行列式|A|是否等於0,若等於0,稱矩陣A為奇異矩陣;若不等於0,稱矩陣A為非奇異矩陣。 同時,由|A|≠0可知矩陣A可逆,這樣可以得出另外一個重要結論:可逆矩陣就是非奇異矩陣,非奇異矩陣也是可逆矩陣。 如果A為奇異矩陣,則AX=0有無窮解,AX=b有無窮解或者無解。如果A為非奇異矩陣,則AX=0有且只有唯一零解,AX=b有唯一解。

5.正交矩陣

若n階矩陣A滿足ATA=E,則稱A為正交矩陣。

6.合同矩陣

設A,B都是n階方陣,若存在可逆矩陣C,使得CTAC=B,則稱A和B 合同。

 


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