[線性代數] 矩陣#1

本文转载自 qq_33583069 查看原文 2016-05-17 4 矩阵/矩阵/ 线性代数线性代数

一、問題的引入：
例 1：學院進行體育比賽，四個年級分別獲得金、銀、銅牌數見表格 1-1;														得分與獎金
見表格 1-2; 統計每個年級的總分數和總獎金數。
		表 1-1									表 1-2

		金牌				銀牌		銅牌					分值		獎金（元）

四年級			3			3		1			金牌		3		500

											銀牌		2		300
三年級			5			4		2			銀牌		2		300
											銅牌		1		100
二年級			4			5		6			銅牌		1		100


一年級			4			4		7
										表 1-3

						總分					總獎金（元）

四年級				3×3+3×2+1×1=16						3×500+3×300+1×100=2500

三年級				5×3+4×2+2×1=25						5×500+4×300+2×100=3900

二年級				4×3+5×2+6×1=28						4×500+5×300+6×100=4100

一年級				4×3+4×2+7×1=27						4×500+4×300+7×100=3900

如用矩陣 A、B、C 分別表示表 1-1，表 1-2，表 1-3 中的有關數據，
		3		3	1			3	500		16		2500
			5	4	2			3	500			25	3900
	A =		5	4	2		B =	₂	300		C =	25	3900
			4	5	6							28	4100
			4	5	6				100			28	4100
			4	4	7			¹	100			27	3900
			4	4	7							27	3900

即：則這三個矩陣間有這樣一種關系：

矩陣 C 完全由矩陣 A 和矩陣 B 決定，C 中每一個元素都是由 A 的某一行的元素和 B 的某一列對應元素相乘再相加得到。如 C 中第一行第二列的元素2500=3×500+3×300+1×100，就是 A 的第一行元素與 B 的第二列對應元素相乘再相加的結果。

例 2：某單位計划在 2008 年與 2009 年兩年內建造三種類型的房屋，建造每種房屋的數

168

量如表 1-1，每 100m² 房屋各種材料的耗用量如表 1-2，試求 2008 年與 2009 年計划建造房屋所需的各種材料的耗用量。

表 2-1

		類型
			甲	乙	丙
	年份

2008			^a11	^a12	^a13
			^a11	^a12	^a13
2009			^a21	^a22	^a23
			^a21	^a22	^a23
			表 2-2

	材料
			水泥（t）	鋼筋（t）	木材（m²）
	類型

	甲		^b11	^b12	^b13
			^b11	^b12	^b13
	乙		^b21	^b22	^b23
			^b21	^b22	^b23
	丙		^b31	^b32	^b33
			^b31	^b32	^b33

解：依題意，2008 年和 2009 年計划建造房屋所需的各種材料的耗用量為表 2-3

表 2-3

	材料
		水泥(t)		鋼筋(t)	木材（m²）
年份

2008		^a11^b11	⁺ ^a12 ^b21	^a11^b12 ⁺ ^a12^b22	^a11^b13 ⁺ ^a12^b23
		^a11^b11	⁺ ^a12 ^b21	^a11^b12 ⁺ ^a12^b22	^a11^b13 ⁺ ^a12^b23
		⁺ ^a13 ^b31		⁺ ^a13 ^b32	⁺ ^a13^b33
2009		^a21^b11	⁺ ^a22 ^b21	^a21^b12 ⁺ ^a22^b22	^a21^b13 ⁺ ^a22^b23
		^a21^b11	⁺ ^a22 ^b21	^a21^b12 ⁺ ^a22^b22	^a21^b13 ⁺ ^a22^b23
		⁺ ^a23 ^b31		⁺ ^a23 ^b32	⁺ ^a23^b33

用矩陣 A、B、C 表示上面表格

a		a		a
A =	11	12		13
	a	a	22	a
	21		22	23

	b₁₁	^b12	^b13
B =	_b	b	b
	21	22	23
	_b	b	b
	31	32	33

a b + a b + a b								a b + a b + a b						a b + a b + a b
C =	11	11	12		21	13	31	11	12	12	22	13	32	11	13	12	23	13	33
	a b + a			b + a b				a b + a b + a b						a b + a b + a b
	21	11		22	21	23	31	21	12	22	22	23	32	21	13	22	23	23	33

則 C 中的元素也是由是由 A 的某一行的元素和 B 的某一列對應元素相乘再相加得到。這種由矩陣 A 和矩陣 B 決定矩陣 C 的方法就是矩陣的乘法。

二、矩陣乘法概念

^{定義設} ^A ⁼ ⁽ ^aij⁾m× r ^，^B ⁼ ⁽^bij⁾r ×n ^{，則由元素} ^cij ⁼ ∑^aik ^bkj ⁼ ^ai1^b1 j ⁺ ^ai 2 ^b2 j ^{+ +} ^air ^brj k =1

構成的矩陣 C = ( c_ij )_m_× _n 稱為矩陣 A 與矩陣 B 的乘積，記為C = AB .

這個定義說明，矩陣 A 與矩陣 B 的乘積 C 的第 i 行第 j 列的元素等於第一個矩陣 A 的第 i 行與第二個矩陣 B 的第 j 列對應元素乘積之和。並且矩陣 C 的行數等於矩陣 A 的行數，列數等於矩陣 B 的列數。

AB 和 BA 都有意義且他們的行數、列數相同，但 AB 和 BA 也不一定相等。此例還說明兩個非零矩陣的乘積可能是零矩陣。

雖然 AC = BC 且 C ≠ O ，但不能推出 A = B 。根據上面的例題，在做乘法計算時要注意以下幾點：1．矩陣乘法不滿足交換律，一般來說AB ≠ BA ；

2．矩陣乘法不滿足消去律，一般來說，當 AB = AC 且 A ≠ O 時，不一定有B = C ；3．一般由 AB = O ，不能推出 A = O 或B = O ，這時稱 A （ B ）是 B （ A ）的左（右）零

因子。

三、運算規律

^{1．結合律} ( AB)C = A(BC)

2．分配律
( A + B)C = AC + BC		A(B + C) = AB + AC
k( AB) = (kA)B
定義方陣的冪 A^m	= AA	A m個 A連乘。
n×n

代碼實現矩陣乘法：

#include<cstdio>  
#include<cstring>  
#include<algorithm>  
using namespace std;  
int ai,aj,bi,bj;  
struct Mart  
{  
    long long a[205][205];  
}A,B,C;  
void Martix(Mart A,Mart B)  
{  
    for(int i=1;i<=ai;i++)  
    {  
        for(int j=1;j<=bj;j++)  
        {  
            for(int k=1;k<=aj;k++)  
            {  
                C.a[i][j]+=A.a[i][k]*B.a[k][j];  
            }  
            printf("%d ",C.a[i][j]);  
        }  
        printf("\n");  
    }  
}  
int main()  
{  
    scanf("%d%d",&ai,&aj);  
    for(int i=1;i<=ai;i++)  
        for(int j=1;j<=aj;j++)  
            scanf("%lld",&A.a[i][j]);  
    scanf("%d%d",&bi,&bj);  
    for(int i=1;i<=bi;i++)  
        for(int j=1;j<=bj;j++)  
            scanf("%lld",&B.a[i][j]);  
    Martix(A,B);  
    return 0;     
}

注意！

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