數據降維

概念：在盡量減少信息量的前提下，采用某種映射方法（函數）
把原來的高維數據（變量多）---映射--->低維數據（變量少）
避免維數災難 ：增加樣本量
常用的降維方法：
    線性方法                          非線性方法
有監督方法 --> LDA（線性判別分析）      無
無監督方法 --> PCA（主成分分析）        局部線性嵌入（LLE）拉普拉斯特征映射

一、主成分分析（PCA）原理（無監督）

理解 PCA 的關鍵，一是坐標變換，二是新坐標（也就是投影）

1.1 通過線性投影

1.2 主成分分析（PCA）操作流程

A 原始數據—減均值

B 求特征變量的協方差矩陣

C 求協方差的 特征值 和 特征向量
D 將特征值大->小排序，選擇最大的k(1)個，然后對k(1)個特征向量分別作為 列向量組成特征向量矩陣（最大的特征根對應的特征向量）
E 將樣本點投影到選取的向量上，得到最終降維后的新維度（1個）

代碼：
from IPython.core.interactiveshell import InteractiveShell
InteractiveShell.ast_node_interactivity = 'all'
from sklearn import datesets

iris= datasets.load_iris() #導入iris數據
X = iris.data
y = iris.target
X[:10]
y[:10]

#PCA 降維

from sklearn.decomposition import PCA
 # sklearn.decomposition.PCA(n_components=None,copy = True whiten = False)
 # n_components:主成分個數
 # copy：是否在運行算法時，將原始數據復制一份，缺省時默認 Ture
 # whiten：白化，使得每個特征具有相同的方差，缺省時默認 False

PCA = PCA(n_components = 3)   #定義一個PCA模型
pca.fit(X)                    #fit
X_new = pca.transform(X)      #transform
X_new[:5]
X_new = pca.fit_transform(X) #fit_transform --可以替代fit 和 transform(X)
X_new[:5]

 #主成分 解釋方差占比
print pca.explained_variance_ratio_
print pca.explained_variance_ 
 #PCA 降維后可視化
pca = PCA(n_components = 2)
pca.fit(X)
X_new = pca.transform(X)
import matplotlib.pyplot as plt
%matplotlib inline
plt.scatter(X_new[:,0],X_new[:,1],mark = 'o',c = y)
plt.show()

二、線性判別分析（LDA）原理（有監督）

LDA 是一種 監督學習 的線性降維技術,與PCA最大的區別，它需要一個目標類別變量

LDA 思想：投影后類內方差最小，類間方差最大。--能最好的把目標變量的類別區分開
LDA降維后得到的新維度可以繼續作用目標變量分類預測的特征

---

PCA 與 LDA對比

PCA 投影后的目的：整體方差最大（不關心目標變量各類別的區隔，強調整體方差最大化 即顯示所有數據）
LDA ----------：類內方差最小，類間方差最大（目標變量各類別區隔明顯，強調局部）
PCA 與 LDA總結
    如果研究問題有目標變量（類別型）
        優先使用LDA 降維
        可以先使用PCA做小幅度的降維，消去噪聲，然后再使用LDA降維
    如果研究的問題沒有目標變量
        優先使用PCA降維

代碼：iris數據集
        iris = datasets.load_iris()    #導入iris數據
        X = iris.data
        y = iris.target
        X[:10]
        y[:10]

LDA　降維
    from sklearn.lda import LDA
    lda = LDA(n_components=2)          #定義一個LDA模型
    X_new = lda.fit_transform(X,y)     #fit_transform --可以替代fit 和 transform(X)
    X_new[:5]
    lda.predict(X) #predict(X)
    lda.score(X,y) #score

對比 PCA 與LDA:

from sklearn.decomposition import PCA  #PCA降維后作圖
pca = PCA(n_components = 2)
pca.fit(X)
X_new = pca.transform(X)
import matplotlib.pyplot as plt
%matplotlib inline
plt.scatter(X_new[:,0],X_new[:,1],mark = 'o',c = y)
plt.show()
from sklearn.decomposition import LDA

LDA降維后作圖
lda = PCA(n_components = 2)
lda.fit(X,y)
X_new = lda.transform(X)

import matplotlib.pyplot as plt
%matplotlib inline
plt.scatter(X_new[:,0],X_new[:,1],mark = 'o',c = y)
plt.show()