一、實驗名稱：  插值問題

二、實驗目的：

    用拉格朗日插值和牛頓差值的方法，在已知函數在點x0,x1,…xn的函數值y0,y1,…yn的情況下，求插值節點x的函數值y，即求f(x)。並比較結果，說明為什么相等。

三、實驗方法：

（1）拉格朗日插值

根據x0,x1,…xn；y0,y1,…yn構造插值多項式

將插值點x代入上式，就可得到函數f(x)在點x處的函數值的近似值。

（2）牛頓插值.

根據x0,x1,…xn；y0,y1,…yn構造插值多項式

Nn(x)=f(x0)+f(x0,x1)(x-x0)+…+f(x0,x1,…xn)(x-x0)(x-x1)…(x-xn-1)

牛頓差值公式中各項的系數就是函數f(x)的各階均差（差商）f(x0)，f(x0,x1)，f(x0,x1,…xn)，因此，在構造牛頓差值公式時，常常先把均差列成一個表，此表稱為均差表。

四．實驗內容：   

從函數表

出發，計算f(0.5),f(0.7),f(0.85)的近似值。

五、實驗程序：

5.1程序編譯

5.1.1 拉格朗日插值法：

function f=agui_lagrange(x0,y0,x)

n=length(x0); m=length(x);

format long

s=0.0;

for k=1:n

   p=1.0;

   for j=1:n

       if j~=k

           p=p*(x-x0(j))/(x0(k)-x0(j));

       end

   end

   s=p*y0(k)+s;

end

f=s;

end

5.1.2 牛頓插值法：

function f=agui_newton(x0,y0,x)

n=length(x0); m=length(x);

format long

N=0.0; p=1.0;

for k=1:n

   p=p*(x-x0(k));

   T=0.0;

   for i=1:k

       q=1.0;

       for j=1:k

           ifj~=i

               q=q*(x0(i)-x0(j));

           end

       end

       T=y0(i)/q + T;

   end 

   N=T*p/(x-x0(k))+N;

end

f=N;

end

5.2程序實現：

>> x0=[0.4 0.55 0.80.9 1]

x0 = 0.4000   0.5500   0.8000   0.9000   1.0000

>>y0=[0.41075  0.57815 0.888111.02656 1.17520 ]

y0 = 0.4108   0.5782   0.8881   1.0266   1.1752

//拉格朗日插值法求值

>>f=agui_lagrange(x0,y0,0.5)

f = 0.52110682539683

>>f=agui_lagrange(x0,y0,0.7)

f = 0.75855804761905

>>f=agui_lagrange(x0,y0,0.85)

f = 0.95614258928571

//牛頓插值法求值

>>f=agui_newton(x0,y0,0.5)

f = 0.52110682539683

>> f=agui_newton(x0,y0,0.7)

f = 0.75855804761905

>> f=agui_newton(x0,y0,0.85)

f = 0.95614258928571

六．實驗結果

通過軟件求解容易發現，兩種算法求出的結果一樣，即有：

七、結果分析

2、當插值多項式從n-1次增加到n次時，拉格朗日型插值必須重新計算所有的基本差值多項式；二對於牛頓插值，只需要表格再計算一個n階均差，然后加上一項就可以了。這樣大大減少了計算量，特別在計算結構復雜的多項式的時候，當然本實驗中的數據組很少，計算機的計算速度快慢不明顯而難以比較兩種方法的優劣。