線性代數——矩陣


1.矩陣的概念

由m×n個數aij排成的m行n列的數表稱為矩陣,aij是第i行第j列的元素。

2.特殊矩陣

(1)零矩陣:所有元素aij均為零。

(2)對角矩陣:除對角線上的元素外,其余元素均為零的n階矩陣。

(3)數量矩陣:主對角線上元素相同的n階對角矩陣。

(4)單位矩陣:主對角線上的元素均為1的n階對角矩陣。

(5)三角矩陣:主對角線以下元素均為零n階對角矩陣稱為上三角矩陣,主對角線以上元素均為零的n階對角矩陣稱為下三角矩陣。

3.矩陣的線性運算

(加法、減法、數乘)

矩陣A=(aij)m×n  ,矩陣B=(bij)m×n
矩陣C=(aij ±bij)m×n

矩陣D=k×A=k×(aij)m×n

A和B必須為同型矩陣

4.性質

(1)交換律:A+B=B+A

(2)結合律:(A+B)+C=A+(B+C)  ,(k×l)×A=k×(l×A)

(3)分配律:k×(A+B)=k×A+k×B   ,(k+l)×A=kA+kB

5.矩陣乘法

矩陣A和矩陣B相乘必須要滿足矩陣A的列數要和矩陣B的行數要相等。

A=(aij)m×n和B=(bij)n×p相乘得到矩陣Cm×p。

(1)結合律:(A×B)C=A(B×C)

(2)分配律:A(B+C)=AB+AC

(3)冪運算(方陣):(Akl=Akl    

6.矩陣的初等變換

(1)互換矩陣的兩行或兩列。

(2)用非零數乘以矩陣的某一行或某一列。

(3)用非零數乘以矩陣的某一行后加到另一行的對應元素上。

7.初等矩陣

單位矩陣經過一次初等變換后得到的矩陣。

初等矩陣與初等變換的關系:初等矩陣左乘矩陣A ,相當於對矩陣A做一次相應的初等行變換。初等矩陣右乘矩陣A ,相當於對矩陣A做一次相應的初等列變換。

8.伴隨矩陣

設矩陣An×n,由行列式|A|的個元素aij的代數余子式Ai×j所構成的n階矩陣,記為A*。

                                     

伴隨矩陣的性質:

A A=A A*=|A|E

9.逆矩陣

設A 是n階方陣,若存在方陣B,使得AB=BA=E,則稱A是可逆的,矩陣B是A的逆矩陣,記為A-1

方陣A可逆的充要條件:|A|不等於0,且A-1=(1/|A| )A*

可逆矩陣的性質:

                                                             

10.矩陣的秩

在m×n的矩陣A中,任取k行k列,位於這些行列交叉處的k2個元素,按照原來的順序組成一個k階行列式,稱為A的k階子式,矩陣A的最高階非零子式的階數稱為矩陣A的秩,記為r(A)。

矩陣秩的公式:

 


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