1.矩陣的概念

由m×n個數a_ij排成的m行n列的數表稱為矩陣，a_ij是第i行第j列的元素。

2.特殊矩陣

（1）零矩陣：所有元素a_ij均為零。

（2）對角矩陣：除對角線上的元素外，其余元素均為零的n階矩陣。

（3）數量矩陣：主對角線上元素相同的n階對角矩陣。

（4）單位矩陣：主對角線上的元素均為1的n階對角矩陣。

（5）三角矩陣：主對角線以下元素均為零n階對角矩陣稱為上三角矩陣，主對角線以上元素均為零的n階對角矩陣稱為下三角矩陣。

3.矩陣的線性運算

（加法、減法、數乘）

矩陣A=(a_ij)_{m×n  ,矩陣B=(bij)m×n} ，
矩陣C=(aij ±bij）_m×n

矩陣D=k×A=k×(a_ij)_m×n

A和B必須為同型矩陣

4.性質

（1）交換律：A+B=B+A

（2）結合律：(A+B)+C=A+(B+C)  ，（k×l）×A=k×（l×A）

（3）分配律：k×（A+B）=k×A+k×B   ，（k+l）×A=kA+kB

5.矩陣乘法

矩陣A和矩陣B相乘必須要滿足矩陣A的列數要和矩陣B的行數要相等。

A=(a_ij)_m×n和B=(b_ij)_n×p相乘得到矩陣C_m×p。

（1）結合律：（A×B）C=A（B×C）

（2）分配律：A（B+C）=AB+AC

（3）冪運算（方陣）：（A^k）^l=A^kl    

6.矩陣的初等變換

（1）互換矩陣的兩行或兩列。

（2）用非零數乘以矩陣的某一行或某一列。

（3）用非零數乘以矩陣的某一行后加到另一行的對應元素上。

7.初等矩陣

單位矩陣經過一次初等變換后得到的矩陣。

初等矩陣與初等變換的關系：初等矩陣左乘矩陣A ，相當於對矩陣A做一次相應的初等行變換。初等矩陣右乘矩陣A ，相當於對矩陣A做一次相應的初等列變換。

8.伴隨矩陣

設矩陣A_n×n，由行列式|A|的個元素a_ij的代數余子式A_i×j所構成的n階矩陣，記為A*。

伴隨矩陣的性質：

A A=A A*=|A|E

9.逆矩陣

設A 是n階方陣，若存在方陣B，使得AB=BA=E，則稱A是可逆的，矩陣B是A的逆矩陣，記為A^-1。

方陣A可逆的充要條件：|A|不等於0，且A^-1=(1/|A| )A*

可逆矩陣的性質：

10.矩陣的秩

在m×n的矩陣A中，任取k行k列，位於這些行列交叉處的k²個元素，按照原來的順序組成一個k階行列式，稱為A的k階子式，矩陣A的最高階非零子式的階數稱為矩陣A的秩，記為r(A)。

矩陣秩的公式：