矩陣論與線性代數


矩陣論和線性代數的差異有如下幾個方面:

(1)線性代數主要以運算為主,比如矩陣的四則運算、行列式的計算、特征值和特征向量的計算等。而矩陣論主要以變換為主,它利用線性代數知識,描述線性變換,並提出了特殊變換,如正規(正交)變換、酉變換等。

(2)線性代數處理特殊矩陣,例如它只對可對角化矩陣進行特征值分解。而矩陣論在此基礎上解決了不可對角化的矩陣的分解(方陣的Jordan分解),還解決了非方陣的分解,奇異值分解。

(3)矩陣論作為線性代數的后續課程,涉及了線性代數更深的領域,如QR分解、范數、矩陣函數、矩陣分析等。

      學知識的同時,也應該嘗試着上升到哲學的層面。現在矩陣理論成為一門重要的工具兼理論課程,能學透徹,特別是(理解其中)蘊含的思想,對一個研究人員將有很大裨益!

     矩陣論最為美妙的地方在於——矩陣論給予了線性代數強有力的“幾何解釋”。這使得吾等平凡之輩也能理解基於“數”、“符號”的推理是如何實現的。 舉一個簡單的例子,“人工神經網絡”——一種強有力的非線性擬合的數學工具,其唯一缺陷在於,模型本身是“黑箱”的。於是乎,算法本身不能解釋給出的“回歸結果”的理由)。而其升級版——SVM(支持向量機)很簡單地做到了這一點。


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