線性代數基礎 矩陣


線性代數基礎

標量 scalar

        單獨的數,自然數,整數,實數、、、

        斜體小寫,表示

向量 vector

  • 一組一維數組
  • 有序的一列數,一般定義縱向量。
  • 但是,書寫不方便,多使用向量的轉置的進行書寫
  • 通常用粗體的小寫變量名稱表示向量,如 x
  • 向量的一組元素,定義集合S={1,3,6},然后寫做 xs

  • 向量的元素用帶腳標的斜體表示,如向量 x的第1個元素為 x1,第2個元素x2
  • 向量的一組元素,定義集合S={1,3,6},然后寫做 xs

矩陣 matrix

        二維數組

通常用粗體的大寫變量名稱表示矩陣,如 A

  • 通常用 粗體的大寫變量名稱表示矩陣,如 A

  • A i,j 表示矩陣第 i 行,第 j 列的元素
  • f( A) i,j表示函數 f 作用在 A 上輸出矩陣的第 i行第 j 列元素。
  • 在數據中,一般一行代表

張量 tensor

  • 超過二維的數組
  • Shape指的是張量的維度
  • Shape(2,5)表示2行5列的矩陣
  • 比如shape是(2,3,4)的張量
  • Tensorflow:張量流
  • 標量,向量,矩陣也都是特殊的張量

轉置

  • 向量的行列轉換
  • 以對角線為軸的鏡像
  • 矩陣轉置,滿足
  • 向量可以看作只有一列的矩陣,其轉置可以看作只有一行的矩陣,如定義一個向量:

  • 標量只有一個元素,轉置等於其本身,

矩陣加法

矩陣減法

 

矩陣乘法

最終結果為 A的行Xb的列的新矩陣

矩陣乘法公式

        

矩陣元素對應乘積 element wise product

        Shape相同使用的一種乘積

矩陣點積 dot product

 

對於一維數組來說shape為數組元素的個數

        向量的點積為標量,一個數值

 

        兩個向量點積示例

x = [1,2,3]T

y = [7,9,11]T

x.y = xTy = [1,2,3].[7,9,11]T = 58

單位矩陣

單位矩陣的結構很簡單:所有沿主對角線的元素都是 1,而其他位置的元素都是 0

  • 性質:任意向量、矩陣和單位矩陣相乘,都不會改變。
  • 單位矩陣的行列一致
  • 一般將保持 n 維向量不變的單位矩陣記作
  • 形式上:

線性方程組

        矩陣是解線性方程組的重要工具

        線性方程組另一種書寫方式

逆矩陣

  • 一個矩陣乘以目標矩陣的結果為單位矩陣,則目標矩可逆,
  • 且該矩陣為目標矩陣的逆矩陣
  • 矩陣逆矩陣記作滿足如下條件:

  • 給定,

  • 我們可以通過以下步驟求解向量

    


注意!

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