- 由
n
階方陣
A
的
n2
個元素組成如下形式:
∣∣∣∣∣∣a11a21...an1a12a22an2.........a1na2nann∣∣∣∣∣∣,
稱為
n
階行列式,記為
|A|
或
detA.
也可用
D
來表示.它等於
n!
項的代數和,其中每一項都是取自不同行、不同列的
n
個元素的乘積
a1j1a2j2...anjn
,並賦予符號
(−1)τ(j1j2...jn)
.這里,
j1j2...jn
是
1,2,...,n
的某個全排列,
τ(j1j2...jn)
為該排列的逆序數,即
|A|=∣∣∣∣∣∣a11a21...an1a12a22an2.........a1na2nann∣∣∣∣∣∣=∑(−1)τ(j1j2...jn)a1j1a2j2...anjn,
例如,6階方陣的行列式由6!項組成的代數和,對於含
a12a23a35a41a54a66
的項,由於
τ(235146)=4
,所以其符號為正
特別的,當
n=1
時,
|A|=|a11|=a11
,此處行列式
|a|
不是
a
的絕對值,如行列式
|−1|=−1
- 對角矩陣的行列式(除主對角線上的元素外,其余元素都為0):
|Λ|=∣∣∣∣∣∣a110...00a220.........00ann∣∣∣∣∣∣=a11a22...ann;
- 上(下)三角矩陣的行列式:
|A|=∣∣∣∣∣∣a110...0a12a220.........a1na2nann∣∣∣∣∣∣=∣∣∣∣∣∣a11a21...an10a22an2.........00ann∣∣∣∣∣∣=a11a22...ann
- 負對角矩陣的行列式:
|Λ|=∣∣∣∣∣∣00...an1.........0a2,n−10a1n00∣∣∣∣∣∣=(−1)n(n−1)2a1na2,n−1...an1
- 行列式的等價定義:
∣∣∣∣∣∣a11a21...an1a12a22an2.........a1na2nann∣∣∣∣∣∣=∑(−1)τ(i1i2...in)ai11ai22...ainn