[線性代數]矩陣


矩陣的概念

矩陣的概念

  1. m×n 個數 aij(i=1,2,...,n;j=1,2,...,n) 排成的 m n 列的數表
    a11a21...am1a12a22am2.........a1na2namn
    稱其為一個 m n 列矩陣,簡稱為 m×n 矩陣。矩陣通常用 A,B,C 等來表示,記為 A=(aij)m×n Am×n ,其中 aij 為第 i 行第 j 列交叉位置上的元素
  2. 元素 aij(i=1,2,...,m;j=1,2,...,n) 都為實數的矩陣稱為實矩陣;元素 aij(i=1,2,...,m;j=1,2,...,n) 中有復數的矩陣稱為復矩陣;元素全為零的矩陣稱為零矩陣 m×n 零矩陣記作 Om×n
  3. 在矩陣 Am×n 中,當 m=1 時,稱為行矩陣;當 n=1 時,稱為列矩陣;當 m=n 時,稱為 n 方陣,簡記為 An
  4. 若矩陣 A,B 的行數相同,列數也相同,則稱 A,B 同型矩陣,設矩陣 A,B 是同型矩陣,如果對一切 i,j ,都有 aij=bij ,則稱矩陣 A,B 相等,記作 A=B

幾種特殊的矩陣

  1. 對角矩陣:稱方陣
    a10...00a20.........00an
    對角矩陣,記為 Λ diag(a1,a2,...,an) 。其特點是:除從左上角到右下角(稱為主對角線)上的元素以外,其余元素都為零(對角線上元素不全為零)
  2. 數量矩陣:若對角矩陣的主對角線上的元素全為非零常數 k ,即
    k0...00k0.........00kn×n
    則稱該矩陣為數量矩陣(或標量矩陣),記為 kE
  3. 單位矩陣:若對角矩陣的主對角線上的元素全為1,即
    10...0010.........001n×n
    稱其為 n 單位矩陣,記為 En E
  4. 三角陣,主對角線上(下)方元素全為0的方陣,稱為下(上)三角陣,如
    A=a11a21...an10a22an2.........00annB=a110...0a12a220.........a1na2nann
    矩陣 A 下三角陣 B 上三角陣

矩陣的運算

矩陣的線性運算

  1. 設矩陣 A=(aij)B=(bij) 都是 m×n 矩陣,矩陣 A 與矩陣 B 的和記為 A+B ,規定
    A+B=a11+b11a21+b21...am1+bm1a12+b12a22+b22am2+bm2.........a1n+b1na2n+b2namn+bmn
    只有當兩個矩陣是同型矩陣時,才能進行加法運算
    設矩陣 A=(aij) ,記 A=(aij) ,稱 A 為矩陣 A 負矩陣。這樣,矩陣的減法可定義為
    AB=A+(B)
    ,顯然
    AA=A+(A)=O
  2. λ 與矩陣 A 的乘積,記作 λA Aλ ,規定
    λA=Aλ=(λaij)=λa11λa21...λam1λa12λa22λam2.........λa1nλa2nλamn.
    數與矩陣的乘積運算稱為數乘運算.特別的, 1A=A,(1)A=A
  3. 矩陣加法和數乘兩種運算,統稱為矩陣的線性運算.矩陣的線性運算滿足以下運算律(設 A,B 都為 m×n 矩陣, λ,μ 都為數):
    1. 加法交換律: A+B=B+A ;
    2. 加法結合律: A+B+C=A+B+C ;
    3. 數乘結合律: λμA=μ(λA)=(λμ)A ;
    4. 數乘矩陣的分配律: (λ+μ)A=λA+μA λ(A+B)=λA+λB .

矩陣的乘法

  1. A=(aij) 是一個 m×s 矩陣, B=(bij) 是一個 s×n 矩陣,規定矩陣 A 與矩陣 B 的乘積是一個 m×n 矩陣 C=(cij) ,其中
    cij=ai1b1j+ai2b2j+...+aisbsj=k=1saikbkji=1,2,...,mj=1,2,...,n
    ,記作 C=AB .(只有第一個矩陣的列數等於第二個矩陣的行數時,才能相乘)
  2. 矩陣乘法滿足以下運算規律:
    1. 結合律: (AB)C=A(BC) ;
    2. 分配律: A(B+C)=AB+AC(B+C)A=BA+CA ;
    3. λ(AB)=(λA)B=A(λB) ,其中 λ 為數;
    4. 設矩陣 Am×n ,則 AEn=EmA=A
  3. 若矩陣 A 與矩陣 B 滿足 AB=BA ,則稱矩陣 A,B 可交換,否則稱為不可交換.顯然,可交換的矩陣一定是方陣
  4. A 是一個 n 階方陣,記
    A1=AA2=AA...Ak+1=AkA
    其中 k 為正整數,稱 Ak 為方陣 A k 次冪,也就是 k A 的連乘積.規定 A0=E .容易驗證方陣的冪運算滿足以下運算律:
    AkAl(Ak)l=Akl
    ,其中 k,l 都為正整數.
    若多項式 f(x)=akxk+ak1xk1+...+a1x+a0(ak,ak1,...,a0 均為實數)中的 x 以方陣 A 代替,得 f(A)=akAk+ak1Ak1+...a1A+a0E 稱其為方陣 A 的多項式

矩陣的轉置

  1. 設矩陣 A=(aij)m×n 把矩陣 A 的行換成同序數的列,得到新矩陣 B=(aji)n×m ,稱矩陣 B 為矩陣 A 轉置矩陣,記作 AT 。例如,
    A=(142528)AT=122458
  2. 矩陣的轉置滿足以下運算律:
    1. (AT)T=A;
    2. (A+B)T=AT+BT;
    3. (λA)T=λAT
    4. (AB)T=BTAT
  3. 設矩陣 A n 階方陣,如果 AT=A ,即對一切的 i,j(1i,jn) ,有
    aij=aji
    則稱矩陣 A 對稱矩陣
  4. 設矩陣 A n 階方陣,如果 AT=A ,即對一切的 i,j(1i,jn) ,有
    aij=aji
    則稱矩陣 A 反對稱矩陣

共軛矩陣

  1. 設矩陣 A=(aij) 為復(數)矩陣,稱矩陣 A¯¯¯=(aij¯¯¯¯) 為矩陣 A ,其中 aij¯¯¯¯ 表示 aij¯¯¯¯ 的共軛復數
  2. 共軛矩陣滿足以下運算律:
    1. A+B¯¯¯¯¯¯¯¯¯=A¯¯¯+B¯¯¯
    2. λA¯¯¯¯¯=λ¯+A¯¯¯
    3. AB¯¯¯¯¯=A¯¯¯B¯¯¯
    4. AT¯¯¯¯¯=(A¯¯¯)T
      其中 λ 是復數

方陣的行列式

排列與逆序

  1. 將自然數 1,2,...,n 排成一列稱為這 n 個自然數的一個全排列. n 個數的不同全排列有 n! 個,我們規定按數的大小次序,由小到大的排列稱為自然排列
  2. 在一個排列中,若某個較大的數排在某個較小的數前面,就稱這兩個數構成一個逆序,一個排列中出現的逆序的總數稱為這個排列的逆序數,通常記為 τ(i1i2...in)
  3. 逆序數為奇數的排列稱為奇排列,逆序數為偶數的排列稱為偶排列
  4. 在排列中,將任意兩個元素對調,其余元素不動,稱為一次對換,將相鄰兩個元素對調,稱為相鄰對換
  5. 將一個排列中任意兩個元素對換,排列的奇偶性改變
  6. 自然數 1 n(n2) 的全排列中,奇偶排列各占一半,各為 n!2

n 階方陣的行列式的定義

  1. n 階方陣 A n2 個元素組成如下形式:
    a11a21...an1a12a22an2.........a1na2nann
    稱為 n 階行列式,記為 |A| detA. 也可用 D 來表示.它等於 n! 項的代數和,其中每一項都是取自不同行、不同列的 n 個元素的乘積 a1j1a2j2...anjn ,並賦予符號 (1)τ(j1j2...jn) .這里, j1j2...jn 1,2,...,n 的某個全排列, τ(j1j2...jn) 為該排列的逆序數,即
    |A|=a11a21...an1a12a22an2.........a1na2nann=(1)τ(j1j2...jn)a1j1a2j2...anjn

    例如,6階方陣的行列式由6!項組成的代數和,對於含 a12a23a35a41a54a66 的項,由於 τ(235146)=4 ,所以其符號為正
    特別的,當 n=1 時, |A|=|a11|=a11 ,此處行列式 |a| 不是 a 的絕對值,如行列式 |1|=1
  2. 對角矩陣的行列式(除主對角線上的元素外,其余元素都為0):
    |Λ|=a110...00a220.........00ann=a11a22...ann
  3. 上(下)三角矩陣的行列式
    |A|=a110...0a12a220.........a1na2nann=a11a21...an10a22an2.........00ann=a11a22...ann
  4. 負對角矩陣的行列式
    |Λ|=00...an1.........0a2,n10a1n00=(1)n(n1)2a1na2,n1...an1
  5. 行列式的等價定義
    a11a21...an1a12a22an2.........a1na2nann=(1)τ(i1i2...in)ai11ai22...ainn

方陣的行列式的性質

  1. n 階方陣 A=(aij)n×n 的轉置矩陣 AT 的行列式等於矩陣 A 的行列式,即
    a11a21...an1a12a22an2.........a1na2nannAT=a11a12...a1na21a22a2n.........an1an2ann|AT|=|A|.
  2. 交換行列式的任意兩行(列),行列式變號
  3. 如果行列式的某兩行(列)對應元素相同,則行列式為0
  4. 用數 k 乘以行列式的某一行(列)中所有元素,等於用數 k 乘以此行列式
  5. 行列式中某一行(列)的公因子可以提到行列式符號外面,即
    a11...kai1...an1a12kai2an2.........a1nkainann=ka11...ai1...an1a12ai2an2.........a1nainann
  6. 若行列式某兩行(列)的對應元素成比例,則行列式等於0
  7. 在行列式中,如果某一行(列)都是兩數之和,則此行列式等於兩個行列式的和,並且這兩個行列式除這一行(列)以外,其余的行(列)與原來行列式對應的行(列)一樣,即
    a11...ci1+bi1...an1a12ci2+bi2an2.........a1ncin+binann=a11...ci1...an1a12ci2an2.........a1ncinann+a11...bi1...an1a12bi2an2.........a1nbinann
  8. 行列式的某一行(列)的所有元素乘以同一數 k 后再加到另一行(列)對應元素上,行列式的值不變

行列式按行(列)展開

  1. n 階行列式中,把元素 aij 所在的第 i 行和第 j 列划去后,余下的 n1 階行列式稱為元素 aij 余子式,記為 Mij ,稱為 (1)i+jMij 為元素 aij 代數余子式,記為 Aij ,即 Aij=(1)i+jMij ,例如,
    |A|=a11a21a31a41a12a22a32a42a13a23a33a43a14a24a34a44M23=a11a31a41a12a32a42a14a34a44
    A23=(1)2+3M23=M23
  2. 行列式等於它的任一行(列)的各元素與其對應的代數余子式成績之和,即
    |A|=ai1Ai1+ai2Ai2+...+ainAini=1,2,...,n
  3. 行列式任一行(列)的元素與另一行(列)的對應元素的代數余子式成績之和等於零,即
    ai1Aj1+ai2Aj2+...+ainAjn=0ij.
  4. 利用行列式按行(列)展開定理,並結合行列式性質,可簡化行列式的計算,計算行列式時,可先用行列式的性質將某一行(列)化為僅含一個非零元素;再按此行(列)展開,變為低一階的行列式來計算

拉普拉斯定理

  1. n 階方陣的行列式 |A| 中,任取 k k 列,位於這些行和列交叉位置上的 k2 個元素,按原來的順序組成一個新的 k 階行列式 M ,稱其為 |A| 的一個 k 階子式,在 |A| 中,划去這 k k 列,余下元素按原來順序構成一個 nk 階行列式 N ,稱其為 M 余子式 (1)i1+...+ik+j1+...+jkN M 代數余子式,其中 i1,...,ik,j1,...,jk 分別是 k 階行列式 M |A| 中的行標和列標
  2. 拉普拉斯定理: n 階方陣的行列式 |A| 中,任取 k 行(列),由這 k 行(列)組成的所有 k 階行列式與它們對應的代數余子式之積求和等於 |A|

方陣的行列式的運算律

  1. A,B 都是 n 階方陣, λ 為實數,則
    1|AT|=|A|2|λA|=λn|A|3|AB|=|A||B|
  2. n 階方陣 A 的行列式 |A| 的各個元素的代數余子式 Aij 構成的如下矩陣:
    A11A12...A1nA21A22A2n.........An1An2Ann
    稱為矩陣 A 伴隨矩陣,記為 A
  3. 伴隨矩陣的性質: AA=AA=|A|E

逆矩陣

逆矩陣的概念

  1. A n 階方陣,若存在 n 階方陣 B ,使得 AB=BA=E 則稱矩陣 A 可逆的,稱矩陣 B 為矩陣 A 的逆矩陣
  2. 設矩陣 B,C 都是矩陣 A 的逆矩陣,有
    AB=BA=EAC=CA=E
    因此
    B=BE=B(AC)=(BA)C=EC=C.
    ,這說明,如果矩陣 A 可逆,其逆矩陣一定唯一,記為 A1
  3. n 階方陣 A 可逆的充分必要條件為 |A|0 ,且當矩陣 A 可逆時, A1=1|A|A .其中, A 為矩陣 A 的伴隨矩陣
  4. |A|=0 時,稱矩陣 A 奇異矩陣,否則稱為非奇異矩陣,因此,可逆矩陣也稱為非奇異矩陣
  5. 設矩陣 A,B 都為 n 階方陣,如果 AB=E BA=E ,則矩陣 A 可逆,且 A1=B

逆矩陣的性質

  1. A 可逆,則 A1 也可逆,且 (A1)1=A 事實上,由 AA1=E (A1)1=A.
  2. A 可逆,數 λ0 ,則 λA 可逆,且 (λA)1=1λA1
  3. A,B 為同階方陣且均可逆,則 AB 也可逆,且 (AB)1=B1A1
  4. A1,A2,...,Am 都是 n 階可逆矩陣,則 (A1A2...Am)1=A1m...A12A11
  5. A 可逆,則 AT 也可逆,且 (AT)1=(A1)T
  6. A 可逆,則 |A1|=1|A|=|A|1
  7. n 階方陣 B 滿足 B2=B ,稱矩陣 B 冪等矩陣

矩陣的分塊

分塊矩陣的概念

  1. 將矩陣用若干條縱線和橫線將其分成許多個小矩陣,每一個小矩陣稱為矩陣的子塊,以子塊為元素的形式上的矩陣稱為分塊矩陣。例如,
    A=a0101a01|||||00b1001b=(C1C3C2C4)

分塊矩陣的運算

  1. 分塊矩陣的加法:設矩陣