試證明: 除了與非、或非外,沒有一個連接詞是完備的。


試證明: 除了與非、或非(即Sheffer操作)外,沒有一個連接詞是完備的。

注:所謂完備,就是利用它的不斷組合(連接),可以來產生所有其他功能的邏輯電路。

20 个解决方案

#1


占個位子先

#2


學習.................................
頂一下

#3


這里的連接詞是否僅限於二元連接詞?

如果是二元連接詞的話,那根據真值表,最多只有 16 種不同的連接詞。
如果連接詞是完備的,那它必須能通過有限步的組合實現出 與、或、非 3種基本的操作。
記 與為A, 或為O, 非為N, 與非 為 AN(and not);
則: N a = a AN a
   a O b = (a AN b) AN (a AN b)
   a A b = N(a O b) = ...
或非 的類似,所以這兩個連接詞是完備的。

假如一個連接詞是完備的(記為 #),
則必須有: 0#0 = 1;  1#1 = 0
否則不能實現 非 操作。
比如 0#0 = 0,則很容易看出,無論 # 怎么組合,在任何地方(內部組合的連接處)絕對不會出現 1,所以不可能產生 1 的輸出; 1#1 的類似。

這樣只有 4 種可能了,
對於兩端的輸入 a=0011, b=0101, (這里表示兩端輸入的不同組合,下面的類似)
輸出僅有 1000(或非) 1010 1100 1110(與非) 4 種可能,
只需否定 1010 1100 即可。
而 1100 是 1010 的兩個輸入端交換所獲得的,所以只需否定 1010 即可。

下面用深度來表示組合的最大層數,
比如輸入端的深度為 0, a#b 的深度是 1, ((a#b)#(a#a))#b 的深度是 3 。。。
用 Si 表示深度為 i 的組合所獲得的所有可能的輸出。
為了簡便,如果之前的深度已經出現過的就不再寫出,
同時用 Si[j] 表示在深度 i 的輸出集合的第 j 個元素(0開始),
用 # 表示連接關系, 其真值表為
    a\b   0  1
    0     1  0
    1     1  0
則得:
S0 = {0011, 0101}
S1 = {
      S0[0]#S0[0], S[0]#S0[1],
      S[1]#S[0], S[1]#S[1]
     }
   = {
      1100, 1010, 
      (1100), (1010)
     }()表示跟前面重復而忽略的。
S2 = {
      S0[0]#S1[0], S1[0]#S0[0], S0[1]#S1[0], S1[0]#S0[1], 
      S0[0]#S1[1], S1[1]#S0[0], S0[1]#S1[1], S1[1]#S0[1], 
      S1[0]#S1[0], S1[0]#S1[1], S1[1]#S1[0], S1[1]#S1[1]
     }
   = {
      (0011), (1100), (0011), (1010),
      (0101), (1010), (0101), (1010),
      (0011), (0101), (0011), (0101)
     }
很明顯 S2 之后的也不會出現新的值了,所以 # 不是完備的。

#4


#5


up

#6


dengsf(decision bell)講得好.
但我認為可以用反證法來更簡單

#7


hj5182001(天行健) :

那就把你的更簡單的反證法也寫出來吧!

#8


up

#9


你指的除此之外的聯結詞是指?

#10


yelling(Ray):

"除此之外的聯結詞"是指一切可能的二元邏輯連結詞,

用二元的邏輯連結詞可以用二元函數f(a,b)形式表示,當a,b分別輸入各種不同真(1)假(0)值
      {0,0},{0,1},{1,0},{1,1}
時,如果2個函數,在一組輸入下, 輸出不同, 則它們就是不同的.

這樣的不同連接詞一共有2^4=16個,它們分別是

函數編號   a,b組合  f(a,b)輸出
------------------------------------------
0          0,0       0
           0,1       0
           1,0       0
           1,1       0  
[注]這一函數是恆等於0: f(a,b)≡0,即“永假”函數,
---------------------------------------------
1          0,0       0
           0,1       0
           1,0       0
           1,1       1
[注]這一函數是“合取”函數,或“與”函數
----------------------------------------------
2          0,0       0
           0,1       0
           1,0       1
           1,1       0
[注]這一函數是“非b”函數,即 f(a,b)=not(b) 實際已經退化為一元了
------------------------------------------------------------
3          0,0       0
           0,1       0
           1,0       1
           1,1       1
[注]這一函數也是一元函數,即 f(a,b)=a
-----------------------------------------
4          0,0       0
           0,1       1
           1,0       0
           1,1       0
[注]這一函數是 (非a)與b, 也就是非(b→a)
----------------------------------------
5          0,0       0
           0,1       1
           1,0       0
           1,1       1
[注]這一函數也是一元函數,即 f(a,b)=b
---------------------------------------
6          0,0       0
           0,1       1
           1,0       1
           1,1       0
[注]這一函數就是‘異或’,即 a XOR b
--------------------------------------
7          0,0       0
           0,1       1
           1,0       1
           1,1       1
[注]這一函數就是‘或’函數,即 a OR b
------------------------------------------
------------------------------------------
8          0,0       1
           0,1       0
           1,0       0
           1,1       0
[注]這一函數就是‘或非’,是完備的
---------------------------------------
9          0,0       1
           0,1       0
           1,0       0
           1,1       1
[注]這一函數叫做“等價”函數,即 f(a,b)=(a≡b),‘≡’這里表示等價

------------------------------------------
10         0,0       1
           0,1       0
           1,0       1
           1,1       0
[注]這一函數也是一元函數,即 f(a,b)=非b
------------------------------------------
11         0,0       1
           0,1       0
           1,0       1
           1,1       1
[注]這一函數是 非b or a ,即 b蘊含a, b→a

-----------------------------------------
12         0,0       1
           0,1       1
           1,0       0
           1,1       0
[注]這一函數也是一元函數,即 f(a,b)=非a
-------------------------------------------
13         0,0       1
           0,1       1
           1,0       0
           1,1       1
[注]這一函數是 非a or b ,即 a蘊含b: a→b
-----------------------------------------
14         0,0       1
           0,1       1
           1,0       1
           1,1       0
[注]這一函數是"與非"函數,是完全的
------------------------------------------
15         0,0       1
           0,1       1
           1,0       1
           1,1       1
[注]這一函數是永真函數,f(a,b)≡1
---------------------------------------

dengsf(decision bell) 最后部分證明的,就是非a(或非b)不完備,而它們是一元函數。

而由推導的結果:

  S2={
       (0011), (1100), (0011), (1010),
       (0101), (1010), (0101), (1010),
       (0011), (0101), (0011), (0101)
     }
   = {
      A, !A, A, !B
      B, !B, B, !B
      A,  B, A,  B 
     }
   = {A, !A, B, !B}  ( 其中驚嘆號‘!’代表‘非’)

可以看出,一元函數只能產生一元函數,不能產生任何一個二元函數。




#11


.

#12


期待更多人的回復,

大家慢慢地思考吧....

#13


o,原來那兩個本質上是一元函數~
用 zzwu 的解釋確實可以簡潔很多。

對了,上面的完備性還有一個前提,
就是不允許使用常量,只能使用給定的變量及其產生出來的值,
所以在考慮能否達到 非 效果的時候就篩掉了 3/4。

但如果能夠使用常量,即可以直接使用 0, 1
使用上面的方法可以得出(只是在第 0 層里加上 0000 和 1111,其它不變)
可以得出對於 a=0011 b=0101 時,
輸出為 0010 0100 1011 1101 也是完備的,16種情況齊全,
相當於zzwu的 2、4、11、13 這四個表的情況。
【PS: 第 2 個表有筆誤,應為 !(a->b) 】

如果再復雜一點,允許反饋,
那是否會有新的完備連接詞?
感覺挺復雜的,
hoho,期待高人討論。

#14


剛才又想了一下,
覺得反饋是不會再增加新的完備詞了。
下面只說說一些想法,說得比較簡單,而且可能有錯。

這里的反饋必須是有效的,如果結果有可能產生不確定或不穩定的結果則認為該組合是錯誤的,直接out。比如 S = S and 1, S就是不確定了, 而 S = S 異或 1 就是不穩定的。

上面已經有 6 個連接詞可以達到完備了,還剩 10 個,分 3 類。

一:0000 1111
   這兩個是恆假和恆真,很明顯,任何反饋都不會產生任何特殊的輸出,也就是跟沒有反饋的情況是完全一樣的。

二:
   0001 0110 0111 1001
   這幾個分別是 與、異或、 或、 同或。
   它們都符合 交換率 和 結合率,所以取其最基本的一個反饋部分(里面不可能再分出更小的反饋部分),設其結果是 S,操作為 #, 運用 交換率和結合率,得出:
  S = (S # S # ...) # (其它輸入的組合)
   用 0001(與,AND) 作為例子,上面可簡化為:
  S = S AND (其它結果)
   很明顯,如果 (其它結果)= 1, 則產生不確定狀態;
   所以 S = (其它結果) = 0, 從而該部分僅相當於一個 常量0 的效果,沒有任何新增加的部分。
   其它幾個類似。

三、0011 0101 1010 1100
   這幾個就是上面 zzwu 所列出的 一元函數,設輸入端從左到右順序是 a, b, 則這幾個分別是 a, b, !b, !a。 根據前面幾帖的結果,可以用一個更通用的 sel(a,b,!a,!b) 來代替,表示從這里選出其中一個作為輸出。這里很明顯,最終有效的反饋就只產生那幾個東西了~~

#15


to dengsf:

你把問題又向前推進了幾步,精彩極了!

特別是引進反饋,這樣,函數就可以產生不確定或不穩定的輸出,而這真是時序電路的本質,
如果沒有反饋,輸出總由輸入確定,就不會有觸發器,寄存器,也就不會有今天的計算機了。
  
如有可能這一問題可進一步討論下去,如組成類似於各種各樣神經網絡那樣的網絡結構,而不
限於已經知道的觸發器、寄存器那樣的數字電路結構,看它們有哪些性質?



#16


確實,前面的討論都是將 連接詞 作為一個理想的單元來處理的。
而且個人覺得理想單元所能產生的東西是非常有限的。

但如果考慮到一般的情形,上面的假設就遠遠不夠了,
zzwu 能否另外想個更合理的模型出來?

而且,我對神經網絡一竅不通,
能否順便介紹一下?

#17


dengsf(decision bell) :

呵呵,為什么除了你,大家都不來參與討論?

真值函數,輸入輸出都是0和1,是世界上最簡單的函數啊!

#18


一個連接詞當然不會是完備的,但是如果多於一個連接詞就有可能是完備的,未必非要是與非、或非

#19


to MadLee(風里麥笛) :

現在問題就是要考察: 除與非或非之外,是否還有,或者沒有,其他的單一連接詞也是完備的.

#20



如再再沒有發言,准備結貼.



to dengsf(decision bell):

關於神經網絡,可以參看ai-junkie的個人網站:

http://www.ai-junkie.com/ai-junkie.html

其中第一個內容
 
   "Neural Networks in Paain English"

用普通的語言,而不是用數學語言(大量的數學公式)介紹了神經網絡,值得一看。



有關神經網絡的具體形狀(拓撲結構),可以參看下面幾個例子:

http://www.ai-junkie.com/ann/evolved/nnt4.html

http://www.ai-junkie.com/ann/evolved/nnt7.html

http://www.ai-junkie.com/ann/som/som1.html


注意!

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