貪心算法 - 最小生成樹 Prim算法


一個無向帶權圖G=(V,E),其中n個頂點Vertex,以及連接各個頂點之間的邊Edge,可能有些頂點之間沒有邊,每條邊上的權值都是非負值。

生成樹:

G的一個子圖,包含了所有的Vertex,和部分的Edge。

最小生成樹:

所有的生成樹中,各條Edge上的權值總和最小的一個。

例子:設計通信網絡時,各個城市之間鋪設線路,最經濟的方案。

最小生成樹性質:

G=(V,E),

S是V的真子集,

如果u在S中,v在V-S中,且(u,v)是圖的一條邊,稱之為特殊邊,且(u,v)是所有特殊邊中最短的,

那么,(u,v)這條邊一定在最小生成樹中。


Prim算法:

任意指定一個頂點作為起始點,放在S中。

每一步將最短的特殊邊放入S中,需要n-1步,即可把所有的其他的點放入S中。算法結束。


對於這個圖,Prim算法的過程為:



代碼實現如下:

/**
 * 最小生成樹 minimum spanning tree
 * @author xuefeng
 *
 */
public class MST {

	public static final int NOT_REACHED = -1;

	/**
	 * @param E n*n
	 */
	public static void prim(int[][] E) {
		int n = E.length;

		boolean[] S = new boolean[n];
		int[] dist = new int[n];
		int[] prev = new int[n];

		S[0] = true; // 選取頂點1作為起始點
		for (int i = 1; i < n; i++) {
			dist[i] = E[0][i];
			prev[i] = 0;
			S[i] = false;
		}

		int min = -1, minV = -1;
		for (int i = 1; i < n; i++) {
			min = -1;
			minV = -1;
			// 選擇離S中頂點最近的點
			for (int j = 1; j < n; j++) {
				if (!S[j] && dist[j] != -1 && (min == -1 || dist[j] < min)) {
					min = dist[j];
					minV = j;
				}
			}
			if (minV == -1)
				continue;
			
			S[minV] = true;

			// S中多了個點,需要改變S離外面的點的最短距離
			for (int j = 1; j < n; j++) {
				if (!S[j] && isReachable(E, minV, j)
						&& (dist[j] == -1 || E[minV][j] < dist[j])) {
					dist[j] = E[minV][j];
					prev[j] = minV;
				}
			}

			// 輸出測試結果
			for (int j = 0; j < n; j++) {
				if (S[j]) {
					System.out.print((j + 1) + " ");
				}
			}
			System.out.println();
		}

	}

	private static boolean isReachable(int[][] E, int v1, int v2) {
		return E[v1][v2] != NOT_REACHED;
	}

	public static void main(String[] args) {
		int[][] E = { { -1, 6, 1, 5, -1, -1 }, { 6, -1, 5, -1, 3, -1 },
				{ 1, 5, -1, 5, 6, 4 }, { 5, -1, 5, -1, -1, 2 },
				{ -1, 3, 6, -1, -1, 6 }, { -1, -1, 4, 2, 6, -1 } };

		prim(E);
	}
}

輸出為:

1 3 
1 3 6 
1 3 4 6 
1 2 3 4 6 
1 2 3 4 5 6 

可由prev數組構造出最小生成樹。

算法復雜度為O(n^2)


注意!

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