Math:如何證明函數在指定區間內的單調性


如果我們需要證明一個函數在某一個區間內的單調性,首先我們要明白函數的單調遞增或者單調遞減,都是x軸往某一個方向時,y軸相應的變化。也就是說,我們需要任意兩個前后位置,y軸對應值的差值是同為正或同為負或一直為0。我們需要舉例才能懂得其中的感覺

第一題

(9) y = x 1 x , x ( , 1 )

證明:對 x 1 , x 2 ( , 1 ) x 1 < x 2 < 1

(6) f ( x 2 ) f ( x 1 ) = x 2 1 x 2 x 1 1 x 1 = x 2 x 1 ( 1 x 2 ) ( 1 x 1 ) > 0

f ( x 1 ) < f ( x 2 ) ,故 y = x 1 x ( , 1 ) 上單調增加。

第二題

(7) y = x + ln x , x ( 0 , + )

證明:對 x 2 > x 1 > 0 x 2 x 1 > 1 , x 2 x 1 > 0 則:

(8) f ( x 2 ) f ( x 1 ) = ( x 2 + ln x 2 ) ( x 1 + ln x 1 ) = ( x 2 x 1 ) + ln x 2 x 1 > 0

所以 f ( x 1 ) < f ( x 2 ) ,故 y = x + ln x ( 0 , + ) 內單調增加。

怎么樣,套路學會了嗎?我們甚至可以用類似 y = x 這樣的函數來作圖,利用上邊的證明方式證明,並配合圖畫來進行理解。祝你好運,希望你早日學會美麗的數學。


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