【雜題】[AGC034D] Manhattan Max Matching【費用流】


Description

有一個無限大的平面,有2N個位置上面有若干個球(可能重復),其中N個位置是紅球,N個位置是藍球,紅球與藍球的總數均為S。

給出2N個位置和上面的球數,現要將紅球與藍球完美匹配,匹配的權值是每一對匹配兩個球的位置坐標的曼哈頓距離之和。
求最大權值。

N<=1000,每個位置上球數<=10,坐標非負且<=10^9

Solution

直接兩兩連邊顯然不行

但又不能對於每一個球單獨計算貢獻,因為絕對值的存在

考慮這樣一個轉化
|x1-x2|=max(x1-x2,x2-x1)
|x1-x2|+|y1-y2|=max(x1-x2+y1-y2,x2-x1+y1-y2,x1-x2+y2-y1,x2-x1+y2-y1)

我們額外建4個中轉點表示上面的四種情況,紅球和藍球通過中轉點連邊,這樣邊數降到了O(N)

邊權就按照上面四種情況的符號連,容量為1,跑最大費用最大流。
由於最大費用最大流的性質,保證了每個匹配都是最大的,因此恰好就是曼哈頓距離取了絕對值符號后的結果。

時間復雜度O(maxflow(N))

Code

#include <bits/stdc++.h>
#define fo(i,a,b) for(int i=a;i<=b;++i)
#define fod(i,a,b) for(int i=a;i>=b;--i)
const int N=2115;
const int INF=1e7;
typedef long long LL;
using namespace std;
vector <int> ap[N];
int n,n1,st,ed,f[N][N];
LL ans,pr[N][N];
void link(int x,int y,int w,LL c)
{
    ap[x].push_back(y);
    f[x][y]=w,pr[x][y]=c;
    ap[y].push_back(x);
    f[y][x]=0,pr[y][x]=-c;
}
typedef vector<int>::iterator IT;
namespace Flow
{
    LL dis[N];
    bool bz[N];
    IT cur[N];
    int d[200*N];
    bool spfa()
    {
        memset(dis,107,sizeof(dis));
        memset(bz,0,sizeof(bz));
        dis[st]=0,bz[st]=1,d[1]=st;
        fo(i,1,n1) cur[i]=ap[i].begin();
        int l=0,r=1;
        while(l<r)
        {
            int k=d[++l];
            for(IT i=ap[k].begin();i!=ap[k].end();i++)  
            {
                int p=*i;
                if(f[k][p]&&dis[k]+pr[k][p]<dis[p]) 
                {
                    dis[p]=dis[k]+pr[k][p];
                    if(!bz[p]) bz[p]=1,d[++r]=p;
                }
            }
            bz[k]=0;
        }
        return (dis[ed]<=1e17);
    }
    int flow(int k,int s)
    {
        if(k==ed) return s;
        int sl=0,v;
        bz[k]=1;
        for(;cur[k]!=ap[k].end();cur[k]++)
        {
            int p=*cur[k];
            if(!bz[p]&&f[k][p]&&dis[p]==dis[k]+pr[k][p]) 
            {
                if(v=flow(p,min(s,f[k][p]))) 
                {
                    sl+=v,s-=v;
                    f[k][p]-=v,f[p][k]+=v;
                    ans+=(LL)v*pr[k][p];
                    if(!s) break;
                }
            }
        }
        bz[k]=0;
        return sl;
    }
}
using Flow::flow;
using Flow::spfa;
int main()
{   
    cin>>n;
    n1=2*n+6,st=2*n+5,ed=n1;
    fo(i,1,n) 
    {
        int x,y,z;
        scanf("%d%d%d",&x,&y,&z);
        link(st,i,z,0);
        link(i,2*n+1,z,x+y);
        link(i,2*n+2,z,x-y);
        link(i,2*n+3,z,-x+y);
        link(i,2*n+4,z,-x-y);
    }  
    fo(i,1,n) 
    {
        int x,y,z;
        scanf("%d%d%d",&x,&y,&z);
        link(i+n,ed,z,0);
        link(2*n+1,i+n,z,-x-y);
        link(2*n+2,i+n,z,-x+y);
        link(2*n+3,i+n,z,x-y);
        link(2*n+4,i+n,z,x+y);
    }
    ans=0;
    while(spfa()) 
        flow(st,INF);
    printf("%lld\n",-ans);
}

注意!

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