線性規划與網絡流24題之最小路徑覆蓋問題


http://acm.nefu.edu.cn/JudgeOnline/problemshow.php?problem_id=481

description

    給定有向圖G=(V,E)。設P 是G 的一個簡單路(頂點不相交)的集合。如果V 中每個頂點恰好在P 的一條路上,則稱P是G 的一個路徑覆蓋。P 中路徑可以從V 的任何一個頂點開始,長度也是任意的,特別地,可以為0。G 的最小路徑覆蓋是G 的所含路徑條數最少
的路徑覆蓋。
設計一個有效算法求一個有向無環圖G 的最小路徑覆蓋。
提示:設V={1,2,...; ,n},構造網絡G1=(V1,E1)如下:

每條邊的容量均為1。求網絡G1的(x0 , y0 )最大流。
對於給定的給定有向無環圖G,編程找出G的一個最小路徑覆蓋。

input

多組數據輸入.
每組輸入第1 行有2個正整數n<=200和m。n是給定有向無環圖G 的頂點數,m是G 的邊數。接下來的m行,每行有2 個正整數i和j,表示一條有向邊(i,j)。

output

每組輸出最少路徑數。

sample_input

11 12
1 2
1 3
1 4
2 5
3 6
4 7
5 8
6 9
7 10
8 11
9 11
10 11

sample_output

3
選自線性規划和網絡流24題。

 分析(引用BYvoid大牛的分析)

有向無環圖最小路徑覆蓋,可以轉化成二分圖的最大匹配問題,從而用最大流解決。

建模方法:

構造二分圖,把原圖每個頂點i拆分成二分圖x和y集合中的兩個頂點,xi和yi,對於原圖中存在的每條邊(i,j),在二分圖
中連接邊(Xi,Yj)。然后把二分圖最大匹配模型轉化為網絡流模型,求網絡最大流。
最小路徑覆蓋的條數,就是原圖頂點數,減去二分圖最大匹配數。沿着匹配邊查找,就是一個路徑上的點,輸出所有路徑即可。
建模分析:
對於一個路徑覆蓋,有如下性質:
1、每個頂點屬於且只屬於一個路徑。
2、路徑上除終點外,從每個頂點出發只有一條邊指向路徑上的另一頂點。
所以我們可以把每個頂點理解成兩個頂點,一個是出發,一個是目標,建立二分圖模型。該二分圖的任何一個匹配方案,都
對應了一個路徑覆蓋方案。如果匹配數為0,那么顯然路徑數=頂點數。每增加一條匹配邊,那么路徑覆蓋數就減少一個,所以路
徑數=頂點數- 匹配數。要想使路徑數最少,則應最大化匹配數,所以要求二分圖的最大匹配。
注意,此建模方法求最小路徑覆蓋僅適用於有向無環圖,如果有環或是無向圖,那么有可能求出的一些環覆蓋,而不是路徑覆蓋

代碼:最大流模板來自黃大神

#include <stdio.h>
#include <iostream>
#include <string.h>
using namespace std;
//--------------------------------------------------------
//--------------------------------------------------------
//最大流模板
const int oo=1e9;
const int mm=161111;
const int mn=999;
int node ,scr,dest,edge;
int ver[mm],flow[mm],next[mm];
int head[mm],work[mm],dis[mm],q[mm];
void prepare(int _node,int _scr,int _dest)
{
node=_node,scr=_scr,dest=_dest;
for(int i=0; i<node; ++i)
head[i]=-1;
edge=0;
}
void addedge(int u,int v,int c)
{
ver[edge]=v,flow[edge]=c,next[edge]=head[u],head[u]=edge++;
ver[edge]=u,flow[edge]=0,next[edge]=head[v],head[v]=edge++;
}
bool Dinic_bfs()
{
int i,u,v,l,r=0;
for(i=0; i<node; i++)
dis[i]=-1;
dis[q[r++]=scr]=0;
for(l=0; l<r; ++l)
{
for(i=head[u=q[l]]; i>=0; i=next[i])
{
if(flow[i]&&dis[v=ver[i]]<0)
{
dis[q[r++]=v]=dis[u]+1;
if(v==dest)
return 1;
}
}
}
return 0;
}
int Dinic_dfs(int u,int exp)
{
if(u==dest)
return exp;
for(int &i=work[u],v,tmp; i>=0; i=next[i])
if(flow[i]&&dis[v=ver[i]]==dis[u]+1&&(tmp=Dinic_dfs(v,min(exp,flow[i])))>0)
{
flow[i]-=tmp;
flow[i^1]=tmp;
return tmp;
}
return 0;
}
int Dinic_flow()
{
int i,ret=0,delta;
while(Dinic_bfs())
{
for(i=0; i<node; i++)
work[i]=head[i];
while(delta=Dinic_dfs(scr,oo))
ret+=delta;
}
return ret;
}
//----------------------------------------------------------
//----------------------------------------------------------
int main()
{
int n,m,u,v,c;
int flag[mm];
while(~scanf("%d%d",&n,&m))
{
memset(flag,0,sizeof(flag));
prepare(n+m+2,0,n+m+1);
for(int i=0;i<m;i++)
{
scanf("%d%d",&u,&v);
if(flag[u]==0)//每個點只能和源點建一次邊,匯點也如此
{
addedge(scr,u,1);
flag[u]=1;
}
addedge(u,v+n,1);
if(flag[v+n]==0)
{
flag[v+n]=1;
addedge(v+n,dest,1);
}
}
printf("%d\n",n-Dinic_flow());
}
return 0;
}



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