跳台階問題分析整理


一、變態跳台階


題目描述


一只青蛙一次可以跳上1級台階,也可以跳上2級……它也可以跳上n級。求該青蛙跳上一個n級的台階總共有多少種跳法。




關於本題,前提是可以跳上1級台階,也可以跳上2級……它也可以跳上n級。
分析如下:
當target<=0,異常輸入 直接return 0;
當target>=1,正常target輸入:
f(0) = 1    表示從台階底一次跳到第n級台階
f(1) = 1
f(2) = f(2-1) + f(2-2) = f(1) + f(0)    //f(2-2) 表示2階一次跳2階的。
f(3) = f(3-1) + f(3-2) + f(3-3) = f(2) + f(1) + f(0)
...
f(n) = f(n-1) + f(n-2) + f(n-3) + ... + f(n-(n-1)) + f(n-n) 
     = f(n-1) + f(n-2) + f(n-3) + ... + f(1) + f(0) 
具體說明: 
1)這里的f(n) 代表的是n個台階有一次1,2,...n階的 跳法數。
2)n = 1時,只有1種跳法,f(1) = 1
3) n = 2時,會有兩個跳得方式,一次1階或者2階,這回歸到了問題(1) ,f(2) = f(2-1) + f(2-2) 
4) n = 3時,會有三種跳得方式,1階、2階、3階,
    那么就是第一次跳出1階后面剩下:f(3-1);第一次跳出2階,剩下f(3-2);第一次3階,那么剩下f(3-3)
    因此結論是f(3) = f(3-1)+f(3-2)+f(3-3)
5) n = n時,會有n中跳的方式,1階、2階...n階,得出結論:
    f(n) = f(n-1)+f(n-2)+...+f(n-(n-1)) + f(n-n) => f(0) + f(1) + f(2) + f(3) + ... + f(n-1)    
6) 由以上已經是一種結論,但是為了簡單,我們可以繼續簡化:
    f(n-1) = f(0) + f(1)+f(2)+f(3) + ... + f((n-1)-1) = f(0) + f(1) + f(2) + f(3) + ... + f(n-2)
    f(n) = f(0) + f(1) + f(2) + f(3) + ... + f(n-2) + f(n-1) = f(n-1) + f(n-1)
    可以得出:
    f(n) = 2*f(n-1)
    
7) 得出最終結論,在n階台階,一次有1、2、...n階的跳的方式時,總得跳法為:
              | 1       ,(n=0 ) 
f(n) =        | 1       ,(n=1 )
              | 2*f(n-1),(n>=2)


public class Solution {
    public int JumpFloorII(int target) {
        if(target <= 0) return 0;       
        else{
            int[] jump = new int[target + 1];            
            jump[1] = 1;                 
            for(int i = 2 ; i <= target ; i++){               
                jump[i] = 2 * jump[i - 1];
            }
            return jump[target];
        }
    }
}


前面是用常規的動態規划分析解題思路,當然了,還有一種針對本題的簡便的解題思路:每個台階都有跳與不跳兩種情況(除了最后一個台階),最后一個台階必須跳,所以共有2的(n-1)次方中情況。

二、普通跳台階



題目描述


一只青蛙一次可以跳上1級台階,也可以跳上2級。求該青蛙跳上一個n級的台階總共有多少種跳法。
public class Solution {
    public int JumpFloor(int target) {
        if(target == 0) return 0;
        else if(target == 1) return 1;
        else if(target == 2) return 2;
        else{
           int[] jump = new int[target];
           jump[0] = 1;
           jump[1] = 2;
           for(int i = 2 ; i < target ; i++){
               jump[i] = jump[i - 1] + jump[i - 2];
           }
            return jump[target - 1];  
        }      
    }

}





















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