Codeforces719E 矩陣乘法+線段樹


Codeforces 719E 矩陣乘法+線段樹


題目大意:

給定一個數列,請完成下面的兩種操作

1.1 1 r z [l,r] 區間加上一個數 z

2.2 l r 查詢 [l,r] 區間內所有的數字,對應在 fib 中的值

例如 序列 1 3 2 4 5 ,2 2 3的結果就是 fib(2)+fib(2)+fib(3)=4

區間的加法我們很容易想到線段樹,但是這時求得已經不是原區間的和了,而是在 fib 數列中對應項的和,我們考慮轉化

首先,正常求 fib 數列的第 k 項,我們可以利用矩陣乘法快速求出,大概是

(fib(i2)fib(i1))(1110)=(fib(i1)fib(i))

由於矩陣乘法具有結合律,將中間的矩陣快速冪再乘上第一個矩陣可以得到最后想要的 fib(i) ,在這道題目中,我們其實還用到了另外一個性質:矩陣乘法在合法的情況下具有分配率,即
E(A+B)=EA+EB

(A+B)E=AE+BE

考慮在線段樹上直接掛矩陣,我們可以在區間上傳的時候將線段樹上左右兩個矩陣相加,在修改的時候傳一個中間的矩陣的修改次冪,然后在sum和lazy上分別乘上,然后就是正常的lazy標記了

大概 在線段樹上直接掛矩陣進行運算的想法還是很妙的。

#include <stdio.h>
#include <string.h>
#include <algorithm>
#include <iostream>
const int mod = 1e9+7;
typedef long long LL;
using namespace std;
const int M = 400005;

struct Matrix
{
int n;
int m;
long long a[3][3];
Matrix () {};
Matrix (int x,int y)
{
n=x;
m=y;
memset(a,0,sizeof(a));
}
};
Matrix operator+(const Matrix &a,const Matrix &b)
{
Matrix res (a.n,a.m);
for(int i=0;i<a.n;++i)
for(int j=0;j<b.m;++j)
(res.a[i][j] += a.a[i][j] + b.a[i][j])%=mod;
return res;
}

Matrix operator*(const Matrix &a,const Matrix &b)
{
Matrix res (a.n,b.m);
for(int i=0;i<a.n;++i)
for(int j=0;j<b.m;++j)
for(int k=0;k<a.m;++k)
(res.a[i][j] += a.a[i][k] * b.a[k][j])%=mod;
return res;
}

Matrix pow(Matrix a,LL b)
{
Matrix res (a.n,a.m);
for(int i=0;i<a.n;++i)
for(int j=0;j<a.m;++j)
res.a[i][j] = (i == j);
for(;b;b>>=1,a=a*a)
if(b&1)
res = res * a;
return res;
}

struct seg
{
Matrix lazy,sum;
bool flag;
}tr[M];

void init(Matrix &b)
{
b.n = b.m =2;
for(int i=0;i<b.n;++i)
for(int j=0;j<b.m;++j)
b.a[i][j] = (i == j);
}

Matrix fib_init_Fir(int x)
{
Matrix res(2,2);
res.a[0][0] = res.a[1][0] = res.a[0][1] = 1;
return pow(res,x-1);
}

Matrix fib_init_Sec(int x)
{
Matrix res(2,2);
res.a[0][0] = res.a[1][0] = res.a[0][1] = 1;
return pow(res,x);
}

void updata(int k)
{
tr[k].sum = tr[k<<1].sum + tr[k<<1|1].sum;
}

void down(int k)
{
if(tr[k].flag)
{
tr[k<<1].lazy = tr[k].lazy * tr[k<<1].lazy;
tr[k<<1|1].lazy = tr[k].lazy * tr[k<<1|1].lazy;
tr[k<<1].sum = tr[k<<1].sum * tr[k].lazy;
tr[k<<1|1].sum = tr[k<<1|1].sum * tr[k].lazy;
tr[k<<1].flag = tr[k<<1|1].flag = 1;
tr[k].flag = 0; init(tr[k].lazy);
}
}

inline int read()
{
int x = 0, f = 1; char ch = getchar();
while (ch < '0' || ch > '9') { if (ch == '-') f = -1; ch = getchar(); }
while (ch >= '0' && ch <= '9') { x = x * 10 + ch - '0'; ch = getchar(); }
return x * f;
}

void build(int k,int l,int r)
{
if(l==r)
{
int x = read();
tr[k].sum = fib_init_Fir(x);
init(tr[k].lazy); tr[k].flag = 0 ;
return ;
}
tr[k].sum = Matrix(2,2); init(tr[k].lazy);tr[k].flag = 0;
int mid = (l+r)>>1;
build(k<<1,l,mid);
build(k<<1|1,mid+1,r);
updata(k);
}

void change(int k,int l,int r,int x,int y,Matrix tmp)
{
if(x <= l && r <= y)
{
tr[k].lazy = tr[k].lazy * tmp;
tr[k].flag = 1;
tr[k].sum = tr[k].sum * tmp;
return ;
}
down(k);
int mid = (l+r)>>1;
if(x <= mid)change(k<<1,l,mid,x,y,tmp);
if(y > mid) change(k<<1|1,mid+1,r,x,y,tmp);
updata(k);
}

LL ask(int k,int l,int r,int x,int y)
{
if(x <= l && r <= y) return tr[k].sum.a[0][0];
int mid = (l+r)>>1;
down(k);
LL ans = 0;
if(x <= mid) ans += ask(k<<1,l,mid,x,y);
if(y > mid) ans += ask(k<<1|1,mid+1,r,x,y);
updata(k) ;
return ans % mod;
}

void out(Matrix &a)
{
for(int i=0;i<a.n;++i)
{
for(int j=0;j<a.m;++j)
printf("%d ",a.a[i][j]);
puts("");
}
}

int main()
{
int n = read(), m = read();
build(1,1,n);
// out(tr[1].lazy);
while(m--)
{
int op = read(), l = read() , r = read();
if(op == 1)
{
int x = read();
change(1,1,n,l,r,fib_init_Fir(x+1));
}
else printf("%I64d\n",ask(1,1,n,l,r));
}
}

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