小波變換與傅里葉變換--機器視覺之旅


導讀:













如果有人問我,如果傅里葉變換沒有學好(深入理解概念),是否能學好小波。答案是否定的。如果有人還問我,如果第一代小波變換沒學好,能否學好第二代小波變換。答案依然是否定的。但若你問我,沒學好傅里葉變換,能否操作(編程)小波變換,或是沒學好第一代小波,能否操作二代小波變換,答案是肯定的。



一、一、基的概念



我們要明確的是基的概念。兩者都是基,信號都可以分成無窮多個他們的和(疊加)。而展開系數就是基與信號之間的內積,更通俗的說是投影。展開系數大的,說明信號和基,是足夠相似的。這也就是相似性檢測的思想。但我們必須明確的是,傅里葉是0-2pi標准正交基,而小波是-inf到inf之間的基。因此,小波在實軸上是緊的。而傅里葉的基(正弦或余弦),與此相反。而小波能不能成為Reisz基,或標准穩定的正交基,還有其它的限制條件。此外,兩者相似的還有就是PARSEVAL定理。(時頻能量守恆)。


      


二、二、離散化的處理



傅里葉變換,是一種數學的精妙描述。但計算機實現,卻是一步步把時域和頻域離散化而來的。第一步,時域離散化,我們得到離散時間傅里葉變換(DTFT),頻譜被周期化;第二步,再將頻域離散化,我們得到離散周期傅里葉級數(DFS),時域進一步被周期化。第三步,考慮到周期離散化的時域和頻域,我們只取一個周期研究,也就是眾所周知的離散傅里葉變換(DFT)。這里說一句,DFT是沒有物理意義的,它只是我們研究的需要。借此,計算機的處理才成為可能。



下面我們談談小波。所有滿足容許性條件(從-INF到+INF積分為零)的函數,都可以成為小波。小波作為尺度膨脹和空間移位的一組函數也就誕生了。但連續取值的尺度因子和平移因子,在時域計算量和頻域的混疊來說,都是極為不便的。用更為專業的俗語,叫再生核。也就是,對於任何一個尺度a和平移因子b的小波,和原信號內積,所得到的小波系數,都可以表示成,在a,b附近生成的小波,投影后小波系數的線性組合。這就叫冗余性。這時的連續小波是與正交基毫無關系的東西,它頂多也只能作為一種積分變換或基。但它的顯微鏡特點和相似性檢測能力,已經顯現出來了。為了進一步更好的將連續小波變換離散化,以下步驟是一種有效方法。第一步,尺度離散化。一般只將a二進離散化,此時b是任意的。這樣小波被稱為二進小波。第二步,離散b。怎么離散化呢?b取多少才合適呢?於是,叫小波采樣定理的東西,就這樣誕生了。也就是小波平移的最小距離(采樣間隔),應該大於二倍小波基的最高頻率(好像類似,記不清了)。所以b取尺度的整數倍就行了。也就是越胖的小波,對應頻譜越窄,平移量應該越大,采樣間隔越大。當然,第一二兩步的頻域理解,即在滿足頻域窗口中心是3倍的頻域窗口半徑的前提下,頻域就在統計上是完美二分的。(但很多小波滿足不了這個條件,而且頻域窗口能量不集中,所以只是近似二分的)。這時的小波變換,稱為離散二進小波變換。第三步,引入穩定性條件。也就是經過變換后信號能量和原信號能量有什么不等式關系。滿足穩定性條件后,也就是一個小波框架產生成了可能。他是數值穩定性的保證。一個稍弱的穩定條件,就是0



三、三、快速算法



如果說現代數字信號處理革命的算法,甚至是很多快速算法的老始祖,或者是滿矩陣向量乘法一個幾乎不可抗拒的最小計算量NlogN,那就是令我不得不佩服的快速傅里葉變換(FFT)。這里我不想解釋過多的基2算法,和所謂的三重循環,還有那經典的蝶形單元,或是分裂基之類,我想說的就是一種時頻對應關系。也就是算法的來源。我們首先明確,時域的卷積對應頻域的相乘,因此我們為了實現卷積,可以先做傅里葉變換,接着在頻域相乘,最后再做反傅里葉變換。這里要注意,實際我們在玩DSP。因此,大家要記住,圓周卷積和離散傅里葉變換,是一家子。快速傅里葉是離散傅里葉的快速算法。因此,我們實現離散線性卷積,先要補零。然后使得它和圓周卷積相等。然后就是快速傅里葉變換,頻域相乘,最后反快速傅里葉變換。當然,如果我們就需要的是圓周卷積,那我們也就不需要多此一舉的補零。這里,我們可以把圓周卷積,寫成矩陣形式。這點很重要。Y=AX。這里的A是循環矩陣。但不幸的是A仍然是滿陣。



小波的快速算法。MALLET算法,是一個令人振奮的東西。它實質給了多分辨率分析(多尺度分析)一個變得一發而不可收的理由。它實質上,講了這樣一個意思。也就是。我在一個較高的尺度(細節)上作離散二進穩定的小波變換,得到了一個結果(小波系數),我若是想得到比它尺度低的小波系數(概貌),我不用再計算內積,只是把較高尺度的小波系數和低通或高通濾波器卷積再抽取即可。但是,所有這些證明的推導是在整個實軸上進行的。即把信號看成無限長的。但這仍不是我們想要的。還有,我們還必須在較高尺度上作一次內積,才可以使用此算法。因此,我們開始簡化,並擴展此理論。第一,我們把信號的采樣,作為一個較高層的小波系數近似初始值。(這是可以的,因為小波很瘦時,和取樣函數無異)。第二,我們把原來的卷積,換為圓周卷積。這和DSP何嘗不一樣呢?他的物理意義,就是把信號作周期延拖(邊界處理的一種),使之在整個實軸上擴展。這種算法令我為之一貫堅持的是,它是完全正交的,也就是說是正交變換。正變換Y=AX;反變換X=A’Y;一般對於標准正交基,A’是A的共軛轉置,對於雙正交A’是A的對偶矩陣。但不管如何,我們可以大膽的寫,AA’=A’A=I。這里I是單位矩陣。



那怎樣操作才是最快的呢?我們來分析A的特點,首先A是正交陣,其次A是有循環矩陣特點,但此時A上半部分是由低通濾波器構成的循環子矩陣,下半部分是由高通濾波器構成的子矩陣,但卻是以因子2為循環的。為什么,因為你做了2抽取。所以我們可以,實現小波變換用快速傅里葉變換。這時如果A是滿陣的,則復雜度由O(N.^2)下降到O(NlogN)。(這個程序我已經傳在了研學上,在原創區)。但還有一點,我們忘了A是稀疏的,因為信號是很長的,而濾波器確實很短的,也就是這個矩陣是個近似對角陣。所以,快速傅里葉是不快的,除非你傻到含有零的元素,也作了乘法。因此,小波變換是O(N)復雜度的。這是它的優勢。但要實現,卻不是那么容易,第一個方法,稀疏矩陣存儲和稀疏矩陣乘法。第二個方法,因子化。因子化,是一個傑出的貢獻。它在原有的O(N)的復雜度基礎上,對於長濾波器,又把復雜度降低一半。但量級仍然是O(N)。



四、四、時頻分析



對於平穩信號,傅里葉再好不過了。它反映的是信號總體的整個時間段的特點。在頻率上,是點頻的。而對於非平穩信號,它就無能為力了。而小波恰好對此派上用場。小波是反映信號,某個時間段的特點的。在頻域上,是某個頻率段的表現。但小波,作為頻譜分析確實存在很多問題。但我們確實可以做出很多的小波滿足這個特點。大家可以看冉啟文的《小波變換與分數傅里葉變換》書,這里我不再贅述。還有,我們老是說小波是近似頻域二分的,這在DSP上是怎樣的,最近我也在思考。




五、壓縮、消噪、特征提取



       傅里葉變換的壓縮,已經廣泛應用了。它的簡化版本就是DCT變換。而小波包的提出,也就使DCT有些相形見拙。首先,它提出代價函數,一般就是熵准則。其次,一個自適應樹分解。再次,基於矩陣范數或較少位編碼的稀疏化策略。這些使小波包的壓縮近乎完美。小波包是從頻域上實現的。從時域上,我們也可采用類似的分裂和並算法,來實現信號最優的表達,這種可變窗小波成為MALVAR小波。記住,壓縮是小波最大的優勢。



       消噪,一般的傅里葉算法,一般可以是IIR濾波和FIR濾波。兩者各有優缺點。而小波的消噪,一般也是由多層分解和閾值策略組成。我們需要的是信號的特點,噪聲的特點,然后確定用不用小波,或用什么小波。這點上,小波的優勢並不是很明顯。



       特征提取。這是小波的顯微鏡特點很好地運用。利用模極大值和LIPSCHITZ指數,我們可以對信號的突變點做分析。但這里面的問題也是很多。首先,在不同尺度上,噪聲和信號的模極大值變化不同。再次,一般我們用求內積方法,求模極大值,而不用MALLET算法,或者改用叫多孔算法的東西來做。這點,我沒任何體會,希望大家多討論吧。



      這里,我不能談應用很多的細節。但我們必須明確:1。你要對小波概念有着明確的理解。對諸如多分辨率,時頻窗口與分析,框架,消失矩,模極大值,LIPSCHITZ指數等有着清醒地認識。2。你必須考慮小波在此問題上的可行性,這點尤為重要,小波不是萬能的。

 


本文轉自
http://www.china-vision.net/blog/user1/6/archives/2006/20066215510.shtml

注意!

本站转载的文章为个人学习借鉴使用,本站对版权不负任何法律责任。如果侵犯了您的隐私权益,请联系我们删除。



了解機器視覺 機器視覺的簡介 機器視覺之eVision 機器視覺之光源 機器視覺相機介紹 機器視覺-行人檢測 機器視覺之光源 機器視覺基礎(1)---投影 機器視覺資料整理 Labview機器視覺(6)-圖像識別
 
粤ICP备14056181号  © 2014-2020 ITdaan.com