程序設計與算法(二)測驗匯總011:最佳加法表達式(DP、高精度)


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描述

給定n個1到9的數字,要求在數字之間擺放m個加號(加號兩邊必須有數字),使得所得到的加法表達式的值最小,並輸出該值。例如,在1234中擺放1個加號,最好的擺法就是12+34,和為36

輸入

有不超過15組數據
每組數據兩行。第一行是整數m,表示有m個加號要放( 0<=m<=50)
第二行是若干個數字。數字總數n不超過50,且 m <= n-1

輸出

對每組數據,輸出最小加法表達式的值

樣例輸入

2
123456
1
123456
4
12345

樣例輸出

102
579
15

提示

要用到高精度計算,即用數組來存放long long 都裝不下的大整數,並用模擬列豎式的辦法進行大整數的加法。


解題分析

假定數字串長度為n,添加完加號后,表達式的最后一個加號添加在第i個數字后面,那么整個表達式的最小值,就等於在前i個數字中插入m-1個加號所能形成的最小值,加上第i+1到第n個數字所組成的數的值(i從1開始算)。

設V(m,n)表示在n個數字中插入m個加號所能形成的表達式最小值,那么:

if(m==0)
V(m,n)=Num(1,n);
else if(n-1 < m)
V(m,n)= ;
else
V(m,n)=min(V(m-1,i)+Num(i+1,n))(i=m…n-1);

Num(i,j)表示從第i個數字到第j個數字所組成的數。數字編號從1開始算。此操作復雜度為O(j-i+1),可以預處理后存起來。

因為每個狀態由m,n決定,總的狀態數即mn,乘計算每個狀態所需時間為O(n),得總時間復雜度:O(m n2 )。

若n比較大,long long不夠存放運算過程中的整數,則需要使用高精度計算(用數組存放大整數,模擬列豎式做加法),復雜度為O(m n3 )。


AC代碼

#include<iostream>
#include<string>
#include<cstring>
using namespace std;

struct BigInt{
    int num[110];
    int len;
    BigInt operator+(const BigInt &n){
        //重載+,使得a+b在a,b都是BigInt變量的時候能成立
        int ml=max(len,n.len);
        int carry=0;//進位
        BigInt result;
        for(int i=0;i<ml;++i){
            result.num[i]=num[i]+n.num[i]+carry;
            if(result.num[i]>=10){
                carry=1;
                result.num[i]-=10;
            }
            else
                carry=0;
        }
        if(carry==1){
            result.len=ml+1;
            result.num[ml]=1;
        }
        else
            result.len=ml;
        return result;
    }
    bool operator<(const BigInt &n){
        if(len>n.len)
            return false;
        else if(len<n.len)
            return true;
        else{
            for(int i=len-1;i>=0;--i){
                if(num[i]<n.num[i])
                    return true;
                else if(num[i]>n.num[i])
                    return false;
            }
            return false;
        }
    }
    BigInt(){
        len=1;
        memset(num,0,sizeof(num));
    }
    BigInt(const char *n,int L){
        //由長度為L的char數組構造大整數,n里面的元素取值范圍從1到9。
        memset(num,0,sizeof(num));
        len=L;
        for(int i=0;n[i];++i)
            num[len-i-1]=n[i]-'0';
    }
};

ostream &operator<<(ostream &o,const BigInt &n)
{
    for(int i=n.len-1;i>=0;--i)
        o<<n.num[i];
    return o;
}

const int MAXN=60;
char a[MAXN];
BigInt Num[MAXN][MAXN];//Num[i][j]表示從第i個數字到第j個數字所構成的整數
BigInt V[MAXN][MAXN];//V[i][j]表示i個加號放到前j個數字中間,所能得到的最佳表達式的值

int main()
{
    int m,n;
    BigInt inf;//無窮大
    inf.num[MAXN-2]=1;
    inf.len=MAXN-1;

    while(cin>>m){
        cin>>a+1;
        n=strlen(a+1);
        for(int i=1;i<=n;++i)
            for(int j=i;j<=n;++j)
                Num[i][j]=BigInt(a+i,j-i+1);
        for(int j=1;j<=n;++j)
            V[0][j]=BigInt(a+1,j);

        for(int i=1;i<=m;++i){
            for(int j=1;j<=n;++j){
                if(j-1<i)
                    V[i][j]=inf;
                else{
                    BigInt tmpMin=inf;
                    for(int k=i;k<j;++k){
                        BigInt tmp=V[i-1][k]+Num[k+1][j];
                        if(tmp<tmpMin)
                            tmpMin=tmp;
                    }
                    V[i][j]=tmpMin;
                }
            }
        }
        cout<<V[m][n]<<endl;
    }
    return 0;
}

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