圓周率為什么會等於4?


上篇博文與大家分享了如何求的圓周率,無論是近似值還是准確值結果都在3.14.......但大家看下面的一張推導圓周率的圖片

它的意思就是先畫個圓的外接正方形,然后按圖示把正方形轉化成等周長的N邊形,也就是方形無限折直到最后和圓的周長相等了!結果πd = 1*4

求的 π=4 !呃,我的人生觀徹底崩潰了,大家是不是覺得也有些懵圈,咋回事呢? thinking。。。


如果 π=4 圓的的面積為π(2/d)^2 = 1;正方形面積也為1!顯然這是不對的,下面我們來看看上圖到底錯在哪里了?

我們先來看看下面這張圖:



這是我國數學家劉徽首創割圓術,在圓內建立內接多邊形,直到N變形,很明顯在N趨近於無窮的時候線段長等於弧長。

我們在來看看外接正方形的分解:


無論怎么分解,最終還是一個由d1,d2,和hu構成的結構,這就是錯誤的本質所在,它與割圓術有着本質的區別。

但是還沒完,我們默認了d1+d2 > hu 這個事實,但是我們得證明啊。我們先轉換一下問題如下圖:


由於的d1 = d2 =d3 =d4,所以問題就轉化成證明d3 + d3 > hu 如下圖:


問題轉化為四分之一圓,兩條半徑和大於圓弧長度的問題。

看到這東西我就直接就想微積分了,證明如下:

設方程x^2 + y^2 = 1

這可以寫成參數方程

x = cos t

y = sin t

t∈[0, π/2]

於是圓周長就是

hu = ∫√( (x'(t))^2 + (y'(t))^2 ) dt

 =π/2

我暈啊,LZ犯了本末倒置的錯誤,人家要求的就是π,而我又用π計算了,證明失敗!

在不通過其他方法求π的情況下,應該如何證明這個問題呢? LZ太水, 求大牛指點奮斗


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