[置頂] 如何用線性篩法求歐拉函數


前幾天做了一個關於歐拉函數的題,當時就做超時了,因為我是暴力做的,后來百度了一下 線性曬法求歐拉函數,所以今天就打算系統的看一下篩法求歐拉函數的問題,該算法在可在線性時間內篩素數的同時求出所有數的歐拉函數:

先介紹一下暴力的歐拉函數:

Eular(m) = m - (1-1/p1) - (1-1/p2) - ... - (1-1/pk)  [其中 p1, p2...pk為m的素因子]

int Eular(int m)
{
int ret = m;
for(int i=2; i<m; i++)
{
if(m%i == 0)
ret -= ret/i;
while(m%i == 0)
{
m /= i;
}
}
if(m > 1)
ret -= ret/m;
return ret;
}

通過上述代碼 我們發現它的復雜度還是挺高的~,所以在一些題目中可能不適合,會超時,所以我們就可以根據素數篩那樣進行歐拉篩法:

要想求歐拉函數需要用到以下幾個性質( p為素數 ):


1.  phi(p) == p-1 因為素數p除了1以外的因子只有p,所以與 p 互素的個數是 p - 1個


2. phi(p^k) == p^k - p^(k-1) == (p-1) * p^(k-1)

證明:

令n == p^k,小於 n 的正整數共有 p^k-1 個,其中與 p 不互素的個數共 p^(k-1)-1 個,它們是 1*p,2*p,3*p ... (p^(k-1)-1)*p

所以phi(p^k) == (p^k-1) - (p^(k-1)-1) == p^k - p^(k-1) == (p-1) * p^(k-1)。


3. 如果i mod p == 0, 那么 phi(i * p) == p * phi(i) (證明略)

舉個例子:

假設 p = 3,i = 6,p * i = 18 = 2 * 3^2;

phi(3 * 6) == 18*(1-1/2)*(1-1/3) = 6

p * phi(i) = 3 * phi(6) = 3 * 6 * (1-1/2) *  (1-1/3) = 6 = phi(i * p) 正確


4. 如果i mod p != 0, 那么 phi(i * p) == phi(i) * (p-1) 

證明:

i mod p 不為0且p為質數, 所以i與p互質, 那么根據積性函數的性質 phi(i * p) == phi(i) * phi(p) 其中phi(p) == p-1

所以 phi(i * p) == phi(i) * (p-1).

再舉個例子:

假設i = 4, p = 3, i * p = 3 * 4 = 12

phi(12) = 12 * (1-1/2) * (1-1/3) = 4

phi(i) * (p-1) = phi(4) * (3-1) = 4 * (1-1/2) * 2 = 4 = phi(i * p)正確


了解了這些性質之后 我們要做的就是就是寫程序了,具體咋寫呢,就讓我們參考一下素數篩,然后就可以寫啦。


My Code:

#include <iostream>
#include <cstring>
using namespace std;
const int MAXN = 1e6+5;
bool flag[MAXN];///標記數組
int phi[MAXN];///歐拉函數值,i的歐拉函數值=phi[i]
int p[MAXN];///素因子的值
int cnt = 0;
void Get_phi()///篩法求歐拉函數
{
cnt = 0;
memset(flag, true, sizeof(flag));
phi[1] = 1;
for(int i=2; i<MAXN; i++)///線性篩法
{
if(flag[i])///素數
{
p[cnt++] = i;
phi[i] = i-1;///素數的歐拉函數值是素數 - 1
}
for(int j=0; j<cnt; j++)
{
if(i*p[j] > MAXN)
break;
flag[i*p[j]] = false;///素數的倍數,所以i*p[j]不是素數
if(i%p[j] == 0)///性質:i mod p == 0, 那么 phi(i * p) == p * phi(i)
{
phi[i*p[j]] = p[j] * phi[i];
break;
}
else
phi[i*p[j]] = (p[j]-1) * phi[i];///i mod p != 0, 那么 phi(i * p) == phi(i) * (p-1)
}
}
}
int main()
{
Get_phi();
int m;
while(cin>>m)///測試
{
cout<<phi[m]<<endl;
}
return 0;
}


練習題:


POJ 2478

HDU 2824




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