poj1061青蛙的約會(擴展歐幾里得)


Description

兩只青蛙在網上相識了,它們聊得很開心,於是覺得很有必要見一面。它們很高興地發現它們住在同一條緯度線上,於是它們約定各自朝西跳,直到碰面為止。可是它們出發之前忘記了一件很重要的事情,既沒有問清楚對方的特征,也沒有約定見面的具體位置。不過青蛙們都是很樂觀的,它們覺得只要一直朝着某個方向跳下去,總能碰到對方的。但是除非這兩只青蛙在同一時間跳到同一點上,不然是永遠都不可能碰面的。為了幫助這兩只樂觀的青蛙,你被要求寫一個程序來判斷這兩只青蛙是否能夠碰面,會在什么時候碰面。 
我們把這兩只青蛙分別叫做青蛙A和青蛙B,並且規定緯度線上東經0度處為原點,由東往西為正方向,單位長度1米,這樣我們就得到了一條首尾相接的數軸。設青蛙A的出發點坐標是x,青蛙B的出發點坐標是y。青蛙A一次能跳m米,青蛙B一次能跳n米,兩只青蛙跳一次所花費的時間相同。緯度線總長L米。現在要你求出它們跳了幾次以后才會碰面。 

Input

輸入只包括一行5個整數x,y,m,n,L,其中x≠y < 2000000000,0 < m、n < 2000000000,0 < L < 2100000000。

Output

輸出碰面所需要的跳躍次數,如果永遠不可能碰面則輸出一行"Impossible"

Sample Input

1 2 3 4 5

Sample Output

4

Source

浙江


根據題意得:x + m*t - (y + n*t) = k*l;  ---->>  t*(m-n) - k*l = y-x  --->>  k*l + t*(n-m) = x-y;

最終化簡得:k * l + t*(n - m) = x - y;


對於不定整數方程pa+qb=c,若 c mod Gcd(p, q)=0,則該方程存在整數解,否則不存在整數解。 上面已經列出找一個整數解的方法,在找到p * a+q * b = Gcd(p, q)的一組解p0,q0后,p * a+q * b = Gcd(p, q)的其他整數解滿足:

  1. p = p0 + b/Gcd(p, q) * t
  2. q = q0 - a/Gcd(p, q) * t(其中t為任意整數)
若c為Gcd(p, q)的倍數,則需要通過把a*c/Gcd(p, q), b也一樣,這樣才是一組特解。 最后還需要注意一下求解最小整數解的正確姿勢,很重要!
#include<iostream>
#include<cstring>
#include<cstdio>
using namespace std;
typedef long long LL;
LL exgcd(LL a, LL b, LL &x, LL &y)
{
if(b == 0)
{
x = 1; y = 0;
return a;
}
LL r = exgcd(b, a%b, y, x);
y -= a / b * x;
return r;
}
LL cal(LL a, LL b, LL c)
{
LL x, y;
LL gcd = exgcd(a, b, x, y);
if(c % gcd)
{
return -1;
}
x *= c / gcd;
b /= gcd;
LL ans = (x % b + b) % b;
return ans;
}
int main()
{
LL a, b, n, m, l;
while(scanf("%I64d%I64d%I64d%I64d%I64d", &a, &b, &m, &n, &l) != EOF)
{
LL ans = cal(n-m, l, a-b);
if(ans == -1)
{
printf("Impossible\n");
continue;
}
printf("%I64d\n", ans);
}
return 0;
}



注意!

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