群表示論、Abel群的表示和特征標(2014-6-17~6-18、6-19,2015-10-15~10-18)


劉瑞琴,胡去非:有限群的特征標矩陣與離散傅里葉變換
http://wenku.baidu.com/link?url=DepGAm3ombAWtZPSDX2Vg6EpY9jSRzBk3MoF2yumqpbT09KBAFEEr_u_jSGhPRH9qAShO3yF5yEjN3DFylzepzArDeUNhNEpBC4IIYlLU4q
摘要:有限的模N剩余類加群Z_N的特征標矩陣是正交矩陣,其恰好就是N點序列的離散傅里葉反變換的變換矩陣,這可為用代數理論分析和處理離散數字信號提供了一種新方法和途徑。
離散傅里葉變換的變換矩陣是正交矩陣,有限Abel群的特征標矩陣是正交矩陣,例如直積群的特征標矩陣是一個階為2^n的沃爾什函數矩陣。
顯然,模N剩余類加法群Z_N的特征標矩陣是N階正交矩陣。
已知N點有限長序列x(n)(n=0,1,…,N-1),則x(n)的離散傅里葉變換為X(k)(k=0,1,…,N-1),其變換對表達式為
X(k)=DFT[x(n)]
x(n)=IDFT[X(k)]
反變換矩陣IDFT是正交矩陣,恰好是模N剩余類加群Z_N的特征標矩陣。
20151028:n有原根<=>(Z/nZ)^*是φ(n)階循環群;n沒有原根<=>(Z/nZ)^*是φ(n)階非循環Abel群。
20151019猜想:1、同階Abel群與它們的特征標表一一對應。2、同階Abel群與它們的群元階的分布一一對應。
n次單位根群Un∈U(1)(1761年)
gap> UR4:=Group([[1]],[[E(4)]],[[E(4)^2]],[[E(4)^3]]);;IdGroup(UR4);
[ 4, 1 ]
gap> UR4:=GroupWithGenerators([1,E(4),E(4)^2,E(4)^3]);;IdGroup(UR4);
[ 4, 1 ]
gap> UR4:=GroupWithGenerators([E(4)]);;IdGroup(UR4);
[ 4, 1 ]
gap> UR5:=GroupWithGenerators([E(5)]);;IdGroup(UR5);
[ 5, 1 ]
gap> UR5:=GroupWithGenerators([1,E(5),E(5)^2,E(5)^3,E(5)^4]);;IdGroup(UR5);
[ 5, 1 ]
gap> I:=[[1,0],[0,1]];;r120:=[[-1/2,Sqrt(3)/2],[-Sqrt(3)/2,-1/2]];;r300:=[[1/2,-Sqrt(3)/2],[Sqrt(3)/2,1/2]];;C6:=Group(I,r120,r300);;IdGroup(C6);Order(r120);Order(r300);
[ 6, 2 ]
3
6
平凡群
C1:=FreeGroup(0);Order(C1);IsCyclic(C1);IsAbelian(C1);
整數加群(Z,+)=<a>
z:=FreeGroup(1);Order(z);IsCyclic(z);IsAbelian(z);
模n剩余類加群(Z/nZ,+)=<a|a^n=e>
z:=FreeGroup(1);z4:=z/[z.1^4];IdGroup(z4);IsCyclic(z4);IsAbelian(z4);
無限非Abel群z2=<a,b>
z2:=FreeGroup(2);Order(z2);IsCyclic(z2);IsAbelian(z2);
無限非循環Abel群Z2=Z+Z
Z2:=DirectProduct(z,z);Order(Z2);IsCyclic(Z2);IsAbelian(Z2);
4階非循環Abel群K4=C_2+C_2
GAP[4,2]=<a,b|a^2=b^2=e,ab=ba>
F:=FreeGroup(2);G:=F/[F.1^2, F.2^2, F.1 * F.2 * (F.2 * F.1)^(-1)];IdGroup(G);IsCyclic(G);IsAbelian(G);
6階二面體群D_3(2004.12.15-2009.9.2)的正規子群
H:=Group((),(1,2,3),(1,3,2));;IdGroup(H);S3:=Group((),(1,2,3),(1,3,2),(1,2),(1,3),(2,3));;IdGroup(S3);I:=();;r:=(1,2,3);;rr:=(1,3,2);;f:=(1,3);;fr:=(2,3);;frr:=(1,2);;D3:=Group(I,r,rr,f,fr,frr);;IdGroup(D3);IsNormal(H,S3);IsNormal(H,D3);IsSubgroup(S3,H);IsSubnormal(S3,H);
H=AlternatingGroup(3);IsSubset(H,[()]);IsSubset(H,[(1,2,3)]);IsSubset(H,[(1,3,2)]);I=f*f;r=frr*f;r=fr*frr;r=f*fr;rr=f*frr;rr=frr*fr;rr=fr*f;IsSubset(H,[I]);IsSubset(H,[r]);IsSubset(H,[rr]);
gap> I:=[[1]];;r:=[[-1/2+E(4)*Sqrt(3)/2]];;rr:=[[-1/2-E(4)*Sqrt(3)/2]];;C3:=Group(I,r,rr);;IdGroup(C3);r*r=rr;
[ 3, 1 ]
true
gap> I:=[[1,0],[0,1]];;r:=[[-1/2,Sqrt(3)/2],[-Sqrt(3)/2,-1/2]];;rr:=[[-1/2,-Sqrt(3)/2],[Sqrt(3)/2,-1/2]];;C3:=Group(I,r,rr);;IdGroup(C3);r*r=rr;
[ 3, 1 ]
true
gap> f:=[[1,0],[0,-1]];;fr:=[[-1/2,Sqrt(3)/2],[Sqrt(3)/2,1/2]];;frr:=[[-1/2,-Sqrt(3)/2],[-Sqrt(3)/2,1/2]];;D3:=Group(I,f,fr,frfr);;IdGroup(D3);fr*r=frr;f*r=fr;
[ 6, 1 ]
true
true
S_3={I,r,r^2,f,fr,fr^2},其中取復數a+bi的二階實矩陣表示為{{a,b},{-b,a}}[按:當然也可以取復數a+bi的二階實矩陣表示為{{a,-b},{b,a}}],I={{1,0},{0,1}},r={{cos(2pi/3),sin(2pi/3)},{-sin(2pi/3),cos(2pi/3)}},r^2={{cos(4pi/3),sin(4pi/3)},{-sin(4pi/3),cos(4pi/3)}}∈SO(2),f={{1,0},{0,-1}},fr={{cos(2pi/3),sin(2pi/3)},{sin(2pi/3),-cos(2pi/3)}},fr^2={{cos(4pi/3),sin(4pi/3)},{sin(4pi/3),-cos(4pi/3)}}∈O(2),但!∈SO(2)。
費迪南德·格奧爾格·弗羅貝尼烏斯1849年10月26日生於柏林,1917年8月3日卒於柏林州夏洛騰堡。父親是一位教區牧師,母親名叫伊麗莎白,姓弗里德里希。
弗羅貝尼烏斯是在傳統體制下接受早期教育的。1867年進入哥廷根大學,開始他的數學學習。當時德國大學中沒有數學系,數學是哲學院的一個專業,有哲學博士學位,而沒有單獨的數學博士學位。1870年,弗羅貝尼烏斯在柏林完成學業並獲博士學位。
當時,隨着世界科學中心的轉移,數學研究中心也由法國移至德國。除1825年創刊的《純粹與應用數學雜志》外,1869年又創刊發行了《數學年鑒》。70年代,雖然哥廷根繼高斯、狄利克雷和黎曼之后處於相對低潮,但柏林卻由於庫默爾、魏爾斯特拉斯、克羅內克等人而比較繁榮。處於這樣一種良好的研究氛圍中,弗羅貝尼烏斯撰寫了一系列比較優秀的數學論文。1874年,他被聘為柏林大學副教授,第二年又成為瑞士蘇黎士高等工業學校教授。1876年,弗羅貝尼烏斯與萊曼結婚。
1870年左右,群論成為數學研究的主流之一。弗羅貝尼烏斯在柏林時就受到庫默爾和克羅內克的影響,對抽象群理論產生興趣並從事這方面的研究,發表了多篇有價值的論文。1892年,他重返柏林大學任數學教授。1893年當選為柏林普魯士科學院院士。
弗羅貝尼烏斯的論文數量很多,其中相當一部分非常重要。他有幾篇文章是與其他著名學者合作的,尤其與施蒂克爾貝格和舒爾的合作最為成功。舒爾是弗羅貝尼烏斯的學生,被認為是抽象群表示論的初創者之一,他發展和簡化了弗羅貝尼烏斯的一些結果。弗羅貝尼烏斯生前沒有專著出版, 1968年,他的論文以論文集的形式重新出版,共3卷。
弗羅貝尼烏斯的主要數學貢獻在群論方面,尤其是群的表示理論。19世紀70,80年代,數學家們通過聯系群的三個主要歷史根源(代數方程的求解理論、幾何、數論)創造了抽象群的概念。抽象群是現代意義下的第一個抽象數學結構。弗羅貝尼烏斯對抽象群概念的形成做出了奠基性的貢獻。在與施蒂克爾貝格合作的“關於可換元素群”(1879),發表於1895年的“有限群”都是關於抽象群概念的重要文章。1887年,他證明了有限抽象群中的Sylow定理,即如果一個有限群的階能被一個素數p的方冪p^n整除,則它恆包含一個p^n階子群。19世紀90年代,弗羅貝尼烏斯研究可解群,發現階不能被一個素數的平方整除的群全都是可解的。
20世紀初,受戴德金來信的鼓舞,弗羅貝尼烏斯開始創立和發展群論中最系統和最本質的部分——有限群的表示理論。群表示論的核心是群特征標理論。弗羅貝尼烏斯發表的與這一論題相聯系的論文有“群特征標”(1896),“論有限群線性代換”(1899),“關於群特征的結構”(1899),以及與舒爾合作的“論實有限群”(1906)等。
在發表於1896年的三篇文章“可交換矩陣”、“群特征標”和“群行列式的素因子”中,弗羅貝尼烏斯建立了有限群特征論的基礎,解決了戴德金提出的非Abel群的群行列式分解問題。
在“論有限群線性代換”中,弗羅貝尼烏斯首次介紹了有限群的表示這一概念。設G是有限群,C是復數域,他定義一個表示是一個同態T:G->GL_d(C),這里GL_d(C)是C上可逆的d*d矩陣群。他還對有限群引進可約表示和完全可約表示的概念,證明了一個正則表示包含所有不可約表示。表示論的不變量是跡函數,弗羅貝尼烏斯稱跡為表示的特征。這個定義比較簡單,成為今天的標准定義。在“群特征標”一文中,他曾給出一個敘述頗為復雜的定義。特征實際上確定了表示,可以證明:兩個表示等價,當且僅當它們的特征等價。
問題:群表示論與矩陣論、數論的解析方法的聯系?
§10.Abel群的特征
§3.8近代分圓域理論(Ⅱ):有限群表示論的應用
有限群的(復)表示理論起源於19世紀末期Frobenius的工作。在20世紀30年代交換代數產生之后,群表示論逐漸采用模論的語言。
數論中采用表示論可以上溯到狄利克雷甚至高斯。二次剩余的勒讓德符號,高斯和以及狄利克雷L-函數L(s,χ)種使用的模m狄利克雷特征就是有限Abel群(Z/mZ)^*的特征(一次表示)。他們在研究高斯和以及L(s,χ)的性質中均使用了特征的正交關系。
Abel群G的每一共軛類只含一個元素,也就是說,G上每一個函數都是類函數。這種群的線性表示特別簡單。
定理9:下列性質是等價的:
1.G是一個Abel群。
2.G的一切不可約表示都是一級的。
定理7:G的不可約表示的個數(確切到同構)等於G的共軛類的個數。
G的兩個元素t和t'說是共軛的,如果存在s∈G使得t'=sts^(-1);這是一個等價關系,這個關系將G划分成類(也叫做共軛類)。
——群G的共軛類個數k是G的不變量,G是Abel群當且僅當k=|G|
——群G的共軛類個數與群G的同階元個數分布是G的兩個不變量,同階元之間不一定共軛
 
在n階循環群C_n中,對n的每一個正因子m,階為m的元素恰好有φ(m)個,由此證明等式Σ[m|n]φ(m)=n。
設群G是24階群且C(G)=1,試證明G=S_4。
由置換(1,2,…,n)={2,3…n,1}生成的循環群特別稱為n次循環群,記作C_n,它的階等於n。
C_4=<(1234)>={{{1,0},{0,1}},{{0,1},{-1,0}},{{-1,0},{0,-1}},{{0,-1},{1,0}}{<}GL_2(R)
C_2×C_2={(1),(12)(34),(13)(24),(14)(23)}={{{1,0},{0,1}},{{1,0},{0,-1}},{{-1,0},{0,1}},{{-1,0},{0,-1}}{<}GL_2(R)
證明S_n=<(12),(13),…,(1n)>
證明S_n=<(12),(123…n)>
證明交錯群A_n,n>=3是由3循環生成的,並且事實上A_n=<(123),(124),…,(12n)>
群SL_2(Z)包含有元素A={{0,1},{-1,0}}和B={{0,1},{-1,-1}},階數分別為4和3。證明<AB>是SL_2(Z)中的無限循環子群。這說明群G中兩個有限階元素的乘積不一定是有限階元。這件事在Abel群中成立嗎?
整數加群由元素1或-1生成。{1,-1}=C_2=GL_1(Z)
矩陣{{1,1},{0,1}}生成SL_2(Z)的一個無限循環子群。
群SL_2(Z)包含所有的矩陣{{1,m},{0,1}},{{1,0},{m,1}},{{m,m-1},{1,1}},m∈Z。
用有理數代替實數,我們就得到了Q上的n階一般線性群GL_n(Q)及其子群SL_n(Q),在群SL_n(Q)種包含一個有趣的子群SL_n(Z),它由行列式為1的整數矩陣組成。
SL_n(Q)和SL_n(Z)在數論中占有重要的地位。
群D_nh是積D_n×I,這里I={1,t},t^2=1是2階群C_2,它的階是4n。
D_nh的不可約表示是D_n的不可約表示與I的不可約表示的張量積。
群I恰有2個不可約表示:2=1+1
它們的特征標g和u由下表給出:
1,t
g,1,1
u,1,-1
因此,D_nh的不可約表示的個數是D_n的不可約表示個數的2倍。
更確切地說,D_n的每一個不可約特征標χ如下確定D_nh的2個不可約特征標χ_g,χ_u:
x,tx
χ_g,χ(x),χ(x)
χ_u,χ(x),-χ(x)
(x∈D_n)
交錯群A_4是有4個元素的集合{1,2,3,4}的一切偶置換所成的群;它同構於R^3中保持一個重心在原點的正四面體不變的旋轉所成的群。
這個群含有12個元素:
單位元1={1,2,3,4}
3個2階元素:2=(12)(34),3=(13)(24),4=(14)(23),它們相當於正四面體經過兩對邊中點聯線的反射。
8個3階元素:5=(123),6=(132),7=(124),8=(142),9=(134),10=(143),11=(234),12=(243),它們相當於繞聯結一個頂點和對面重心的聯線旋轉±120°角的旋轉。
令K={1,5,5*5},H={1,2,3,4}
A_4是子群K與正規子群H的半直積。
A_4中有4個共軛類:{1},{2,3,4},{5,5*2,5*3,5*4},{5*5,5*5*2,5*5*3,5*5*4},因而有4個不可約特征標。12=1+1+1+9
有3個1級特征標,它們相當於子群K的3個特征標χ_0,χ_1,χ_2到群A_4上的開拓,
最后1個特征標ψ是A_4在R^3內的自然表示(線性地開拓到C^3內)的特征標。於是我們有以下的關於A_4的特征標:
1,2,5,5*5
χ_0,1,1,1,1
χ_1,1,1,ω,ω^2
χ_2,1,1,ω^2,ω
ψ,3,-1,0,0
這里ω=e^(2*2pii/3)=1/2+isqrt(2)/2。
gap> -1/2+Sqrt(3)*E(4)/2;
E(3)
gap> -1/2+Sqrt(3)*E(4)/2=E(3);
true
gap> -1/2-Sqrt(3)*E(4)/2;
E(3)^2
gap>A4:=AlternatingGroup(4);;IdGroup(A4);L:=Irr(A4);List(L,DegreeOfCharacter);
[ 12, 3 ]
[ Character( CharacterTable( Alt( [ 1 .. 4 ] ) ), [ 1,1, 1, 1] ), Character( CharacterTable( Alt( [ 1 .. 4 ] ) ),
  [ 1, 1, E(3)^2, E(3) ] ), Character(CharacterTable( Alt( [ 1 .. 4 ] ) ), [1, 1, E(3),E(3)^2 ] ),
  Character( CharacterTable( Alt( [ 1 .. 4 ] ) ), [ 3, -1, 0, 0 ] ) ]
[ 1, 1, 1, 3 ]
gap>g:=AlternatingGroup(4);;cl:=ConjugacyClasses(g);;L1:=List(cl,Representative);;L2:=List(cl,Centralizer);;L3:=List(L2,IdGroup);;L4:=List(cl,Size);;tbl:=CharacterTable( g );;Display( tbl );
CT1

     2  2  2  .  .
     3  1  .  1  1

       1a 2a 3a 3b
    2P 1a 1a 3b 3a
    3P 1a 2a 1a 1a

X.1     1  1  1  1
X.2     1  1  A /A
X.3     1  1 /A  A
X.4     3 -1  .  .

A = E(3)^2
  = (-1-Sqrt(-3))/2 = -1-b3
7.7群的特征標
設G是一個群,K是一個域,G在K里的特征標就是從G到K的乘法群里的同態。
。對於特征標σ,τ,乘積στ定義為στ(x)= σ(x)τ(x),它仍是特征標。G在K里的特征標關於此乘法構成一個Abel群G’,稱為G在K里的特征標群。
線性無關定理:G在K里的不同特征標σ_1,…, σ_n總是線性無關的。
§9.群的表示與指標(特征標)
分析與古典代數的方法對群論的應用被稱之為群表示論。
群的矩陣表示
群G的一個n階表示是G到n階非退化矩陣群里的一個同態映像。
群G的1階表示是這樣的對應:對於G的每一元素,對應着一個復數,而且,群的兩個元素的乘積對應着與它們對應的復數的乘積。
如果G是有限群並且含有非單位元素,那么,除了不同階數的單位表示之外,群G必然還有無限多個其他表示。
設已經知道群G的一個n階表示g->A_g,則可得出無限多個其他表示。任取一個n階非退化矩陣P,命B_g=P^-1A_gP,則g->B_g仍是群G的一個表示,因為A_gh=A_gA_h=>B_gh=B_gB_h。這樣得出的表示叫做與已知表示等價的。
——群表示論中的表示等價轉化為矩陣論中的矩陣等價
求新表示的另外方法是作表示的直接和,此方法可述之如下:
設g—>A_g,g—>B_g是群G的矩陣的某兩個表示,相應的階數分別為m與n。考慮對應
g—>{{A_g,O},{O,B_g}}
回憶矩陣的乘法規則,我們得到
gh—>{{A_gh,O},{O,B_gh}}={{A_gA_h,O},{O,B_gB_h}}={{A_g,O},{O,B_g}}{{A_h,O},{O,B_h}}
亦即上述映像仍是群G的一個表示。這個表示叫做已知的兩個表示的和,而用符號A_g+B_g表之。如果交換被加項的位置,那
么我們得到另一個表示
g—>{{B_g,O},{O,A_g}}。
但是,這個表示是與原先得出的表示等價的。因此,如果對於等價的表示不加區別,那么,表示的加法是可換的運算。很容易
看出,表示的加法也是結合的運算。
設已經知道了群G的某些表示A_g,B_g,C_g,……,那么,利用表示的加法可以得出更高階的表示:
A_g+B_g+C_g,A_g+A_g+A_g+A_g等等。
C_4={1,-1,i,-i}的1階表示:1,-1,i,-i
其次,我們取1->1,-1>-1,i->-I,-i->i作為第2個表示。這兩個表示的和是映像
1->{{1,0},{0,1}},-1->{{-1,0},{0,-1}},i->{{i,0},{0,i}},-i->{{-i,0},{0,i}}。
利用矩陣P={{1,i},{1,-i}}來變換這個表示,我們得到等價的表示
1->{{1,0},{0,1}},-1->{{-1,0},{0,-1}},i->{{0,1},{-1,0}},-i->{{0,-1},{1,0}}。
讓我們很有興趣地指出,這個表示的所有矩陣都是實矩陣。

gap> C4:=Group([[1]],[[-1]],[[E(4)]],[[-E(4)]]);IdGroup(C4);s:=Elements(C4);for si in sdo Print("ord:");Print(Order(si));Print(",Tr:");Print(TraceMat(si));Print(",中心化子:");Print(IdGroup(Centralizer(C4,si)));Print("\n");od;
Group([ [ [ 1 ] ], [ [ -1 ] ], [ [ E(4) ] ], [ [ -E(4) ] ] ])
[ 4, 1 ]
[ 4, 1 ]
[ [ [ -1 ] ], [ [ 1 ] ], [ [ -E(4) ] ], [ [ E(4) ] ] ]
ord:2,Tr:-1,中心化子:[ 4, 1 ]
ord:1,Tr:1,中心化子:[ 4, 1 ]
ord:4,Tr:-E(4),中心化子:[ 4, 1 ]
ord:4,Tr:E(4),中心化子:[ 4, 1 ]
gap> C4m2:=Group([[1,0],[0,1]],[[-1,0],[0,-1]],[[0,1],[-1,0]],[[0,-1],[1,0]]);IdGroup(C4m2);s:=Elements(C4m2);forsi in s do Print("ord:");Print(Order(si));Print(",Tr:");Print(TraceMat(si));Print(",中心化子:");Print(IdGroup(Centralizer(C4m2,si)));Print("\n");od;
Group([ [ [ 1, 0 ], [ 0, 1 ] ], [ [ -1, 0 ], [ 0, -1 ] ], [ [ 0, 1 ], [ -1, 0 ]], [ [ 0, -1 ], [ 1, 0 ] ] ])
[ 4, 1 ]
[ [ [ -1, 0 ], [ 0, -1 ] ], [ [ 0, -1 ], [ 1, 0 ] ], [ [ 0, 1 ], [ -1, 0 ] ], [[ 1, 0 ], [ 0, 1 ] ] ]
ord:2,Tr:-2,中心化子:[ 4, 1 ]
ord:4,Tr:0,中心化子:[ 4, 1 ]
ord:4,Tr:0,中心化子:[ 4, 1 ]
ord:1,Tr:2,中心化子:[ 4, 1 ]
gap>g:=CyclicGroup(4);;IdGroup(g);cl:=ConjugacyClasses(g);;L1:=List(cl,Representative);;L2:=List(cl,Centralizer);;L3:=List(L2,IdGroup);;L4:=List(cl,Size);;tbl:=CharacterTable( g );;Display( tbl );
[ 4, 1 ]
CT2

     2  2  2  2  2

       1a 4a 2a 4b

X.1     1  1  1  1
X.2     1 -1  1 -1
X.3     1  A -1 -A
X.4     1 -A -1  A

A = E(4)
  = Sqrt(-1) = i
gap> G:=GroupWithGenerators(Units(GaussianIntegers));;IdGroup(G);
[ 4, 1 ]
gap> G:=GroupWithGenerators(Units(Integers));;IdGroup(G);
[ 2, 1 ]

每一個與群G的階梯表示等價的表示均稱之可約的,與任何階梯表示不等價的表示叫做不可約的。
與不可約表示的和等價的表示叫做完全可約的。
就精確到等價的意義來說,每一個有限群僅有一個正則表示。
讓我們簡短地敘述一下有限群表示論的一些基本定理。有限群的不同的(非等價的)不可約表示的個數是有限的,並且等於這個群的共軛元素類的個數。不可約表示的階數必然是群的因數,而且正則表示等於所有不可約表示的和,其中每一個不可約表示重復出現的次數恰好等於其階數。
由此可以得出,有限群的階數n與不可約表示階數n_1,n_2,…n_k之間的下面有趣的關系式:
n=∑[i=1->k](n_i)^2。n_1=1。
S_3有k=3個共軛元素類。
有限可換群可作為另外一個例子,這時每一個元素組成一個共軛元素類。因此,k=n,n_1=n_2=…=n_k=1,即這樣群的所有不可約表示都是一階的,而且不可約表示的個數等於群的階數。
可換群的不可約表示也叫做群的指標。對於非可換群的每一表示,其指標是指組成這個表示的矩陣的跡(即矩陣對角元素的和)的集合。有限群的指標具有很好的性質和關系。群的表示和指標的研究以有興趣的一般結果豐富了群論,並且這些結果在近代理論物理中找到了寬廣的應用。
4.6群表示論
群論的一個基本工具是線性表示的觀念。一個群G在一個域K上的向量空間V上的線性表示是G到V的自同構群GL(V)中的一個同態ρ:G->GL(V)。
在有限群的研究中,特別是散在單群的結構確認中,用電子計算機計算特征標等等是常見的。
線性表示不僅計算比較方便,而且最重要的是它保持群的結構,也就是對於g_1,g_2∈G,總有ρ(g_1)ρ(g_2)= ρ(g_1g_2)。
對每個有限群,求出所有的不可約表示是表示論的頭等大事。一個線性表示ρ:G->GL(V)稱為完全可約表示,如每個不變子空間U{<}V都有一個不變補空間W,使V=U(+)W。
酉表示是完全可約表示。有限群的實和復表示都是完全可約表示。
可以證明:只有有限多不可約表示,它的數目正好等於有限群G的共軛類的數目。
矩陣的跡Trρ(g)稱為表示的特征標。
重要的是,有限群的不可約復表示完全由其特征標所決定。
這樣一來,決定G的所有表示問題簡化為找到G的所有不可約特征標的問題。為此弗羅貝尼烏斯等人在19世紀末解決如下的基本問題:
1.不可約(表示)特征標的刻畫問題;
2.不可約特征標的關系
3.特征標分解定理
4.不同構的不可約表示的數目。
對於這些問題我們有如下的結果:
1.如果χ是一個不可約表示的特征標,則(χ|χ)=1。
2.如果χ與χ'是兩個不同構的不可約表示的特征標,則(χ|χ')=0(正交關系)。
3.如果χ_1, χ_2, χ_h,是G的所有兩兩不同的不可約特征標,則G的每個表示的特征標φ,φ=∑[i=1->h]m_iχ_i,這里m_i=(φ|χ_i)是非負整數,(φ|φ)= ∑[i=1->h]m_i^2。
我們有一個一般的定理:
如果φ是G的一個表示的特征標,則(φ|φ)是一個正整數,且表示不可約當前僅當(φ|φ)=1。
設C(a)表示G中含有a的共軛類,g_a為C(a)中元素的數目,我們有下面的正交關系成立:
∑[a∈G]χ(a)χ(a^-1)=|G|,χ=χ_0;0,χ≠χ_0。
這是對G中所有元素求和的。另一個是對所有不同的不可約特征標來求和:
∑[χ]χ(a)χ(b^-1)=|G|/g_a,C(a)=C(b);0,C(a)≠C(b)。
所有不同構的不可約表示的維數之間有如下關系:
(n_1)^2+(n_2)^2+……+(n_k)^2=g。
這個關系式足以決定一批不同構的不可約表示是否全部。另一個更困難的定理是每個n_i都整除g,這就大大降低了我們定出全部不可約特征標的難度。
例如,S_3共有6個元素,因此不可約表示的維數只可能是1和2,或者1+1+1+1+1+1=6或者1+1+4=6。前者顯然不可能(不可能兩兩不同還都正交),因此,它只有3個不可約特征標,不難得出其特征標表:
1,t,e
χ_1,1,1,1
χ_2,1,-1,1
θ,2,0,-1

S_3={(1,2,3),(2,1,3),(1,3,2),(3,2,1),(3,1,2),(2,3,1)}
的2維不可約表示是
{{1,0},{0,1}},{{-1,1},{0,1}},{{1,0},{1,-1}},{{0,-1},{-1,0}},{{-1,1},{-1,0}},{{0,-1},{1,-1}}
其相應的特征標是2,0,0,0,-1,-1
gap>S3:=Group(PermList([1,2,3]),PermList([2,1,3]),PermList([1,3,2]),PermList([3,2,1]),PermList([3,1,2]),PermList([2,3,1]));IdGroup(S3);s:=Elements(S3);forsi in s do Print("ord:");Print(Order(si));Print(",中心化子:");Print(IdGroup(Central zer(S3,si)));Print("\n");od;
Group([ (), (1,2), (2,3), (1,3), (1,3,2), (1,2,3) ])
[ 6, 1 ]
[ (), (2,3), (1,2), (1,2,3), (1,3,2), (1,3) ]
ord:1,中心化子:[ 6, 1 ]
ord:2,中心化子:[ 2, 1 ]
ord:2,中心化子:[ 2, 1 ]
ord:3,中心化子:[ 3, 1 ]
ord:3,中心化子:[ 3, 1 ]
ord:2,中心化子:[ 2, 1 ]
gap> S3m2:= Group([[1,0],[0,1]],[[-1,1],[0,1]],[[1,0],[1,-1]],[[0,-1],[-1,0]],[[-1,1],[-1,0]],[[0,-1],[1,-1]]);IdGroup(S3m2);s:=Elements(S3m2);for si in s doPrint("ord:");Print(Order(si));Print(",Tr:");Print(TraceMat(si));Print(",中心化子:");Print(IdGroup(Centralizer(S3m2,si)));Print("\n");od;
Group([ [ [ 1, 0 ], [ 0, 1 ] ], [ [ -1, 1 ], [ 0, 1 ] ], [ [ 1, 0 ], [ 1, -1 ]], [ [ 0, -1 ], [ -1, 0 ] ],
  [ [ -1, 1 ], [ -1, 0 ] ], [ [ 0, -1 ], [ 1, -1 ] ] ])
[ 6, 1 ]
[ [ [ -1, 1 ], [ -1, 0 ] ], [ [ -1, 1 ], [ 0, 1 ] ], [ [ 0, -1 ], [ -1, 0 ] ],[ [ 0, -1 ], [ 1, -1 ] ],
  [ [ 1, 0 ], [ 0, 1 ] ], [ [ 1, 0 ], [ 1, -1 ] ] ]
ord:3,Tr:-1,中心化子:[ 3, 1 ]
ord:2,Tr:0,中心化子:[ 2, 1 ]
ord:2,Tr:0,中心化子:[ 2, 1 ]
ord:3,Tr:-1,中心化子:[ 3, 1 ]
ord:1,Tr:2,中心化子:[ 6, 1 ]
ord:2,Tr:0,中心化子:[ 2, 1 ]

同樣可知S_4共有24個元素,共有5個共軛點,共5個不可約表示的維數分別為1,1,2,3,3,
1+1+4+9+9=24。
特征標表為
1,(ab),(ab)(cd),(abc),(abcd)
χ_0,1,1,1,1,1
ε,1-1,1,1,-1
θ,2,0,2,-1,0
ψ,3,1,-1,0,-1
εψ,3-1,-1,0,1
從S_3,S_4的特征標表可以看出,它們的特征標都是整數,實際上這也是對稱群特征標的普遍性質。
1.誘導表示理論
這個方法是從G的子群H出發,而H的線性表示已經知道,然后考慮由H的表示所誘導的G的表示。對於有限群,布勞爾的基本定理就是G的所有特征標都是由G的初等子群所誘導的G的表示的特征標的整系數線性組合,而初等子群根據定義是一個循環子群和一個p-群的直積。

20140619工具9:生成偶數階Abel群U(n)=(Z/nZ)^*的凱萊表的小工具UnMulTable.exe
gap> U11:=Units(Integers mod 11);;IdGroup(U11);
[ 10, 2 ]
請輸入群A凱萊表文件名:U11.txt
G10ElementToOrder(0)=1
G10ElementToOrder(1)=10
G10ElementToOrder(2)=5
G10ElementToOrder(3)=5
G10ElementToOrder(4)=5
G10ElementToOrder(5)=10
G10ElementToOrder(6)=10
G10ElementToOrder(7)=10
G10ElementToOrder(8)=5
G10ElementToOrder(9)=2
C_10=U11有1個1階元,1個2階元,4個5階元,4個10階元
http://www.di-mgt.com/cgi-bin/dirichlet.cgi
Dirichlet characters modulo 11
k = 11, φ(k) = 10, (Z/kZ)* ? C_10, generator = 2
G={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}, λ = 10, w^5 = -1, w = exp(πi/5)
X(n) mod 11 n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
X_1(n) 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
X2(n) 1 w -w^3 w^2 w^4 -w^4 -w^2 w^3 -w -1
X3(n) 1 w2 -w w4 -w3 -w3 w4 -w w2 1
X4(n) 1 w3 w4 -w w2 -w2 w -w4 -w3 -1
X5(n) 1 w4 w2 -w3 -w -w -w3 w2 w4 1
X6(n) 1 -1 1 1 1 -1 -1 -1 1 -1
X7(n) 1 -w -w3 w2 w4 w4 w2 -w3 -w 1
X8(n) 1 -w2 -w w4 -w3 w3 -w4 w w2 -1
X9(n) 1 -w3 w4 -w w2 w2 -w w4 -w3 1
X10(n) 1 -w4 w2 -w3 -w w w3 -w2 w4 -1
X(n) mod 11
---------------------------------------------------------
n         1   2    3    4    5   6    7    8    9  10
---------------------------------------------------------
X_1(n)    1    1   1    1    1    1   1    1    1    1
X_2(n)    1    w -w^3  w^2  w^4 -w^4-w^2  w^3   -w   -1
X_3(n)    1  w^2   -w  w^4 -w^3 -w^3 w^4   -w  w^2    1
X_4(n)    1  w^3  w^4   -w  w^2-w^2    w -w^4 -w^3   -1
X_5(n)    1  w^4  w^2 -w^3   -w  -w -w^3  w^2  w^4    1
X_6(n)    1   -1    1   1    1   -1   -1  -1    1   -1
X_7(n)    1   -w -w^3  w^2  w^4 w^4  w^2 -w^3   -w    1
X_8(n)    1 -w^2   -w  w^4 -w^3  w^3-w^4    w  w^2   -1
X_9(n)    1 -w^3  w^4   -w  w^2 w^2   -w  w^4 -w^3    1
X_10(n)   1 -w^4  w^2 -w^3   -w   w  w^3 -w^2  w^4   -1
---------------------------------------------------------
計算模11的Dirichlet特征
∵ φ(11) = 10∴共有10種兩兩不同的特征。
2^1 = 2 (mod 11) 2^2 = 4 (mod 11) 2^3 = 8 (mod 11) 2^4 = 5 (mod 11) 2^5 = 10(mod 11) 
2^6 = 9 (mod 11) 2^7 = 7 (mod 11) 2^8 = 3 (mod 11) 2^9 = 6 (mod 11) 2^10 = 1 (mod11)
∵ 2^φ(11) = 1 (mod 10)∴ 2是模11的最小素數原根, g = 2。
∵ χ(g;α) =Exp(2πi/φ(p)×α), Exp(2πi/φ(p))是單位根ω。
∴ χ(2;0) = Exp(2πi/10×0)= Exp(0) = 1 = χ1(2);
   χ(2;1) = Exp(2πi/10×1) = Exp(πi/5) = ω;
   χ(2;2) = Exp(2πi/10×2) = Exp(2πi/5) = ω^2;
   χ(2;3) = Exp(2πi/10×3) = Exp(3πi/5) = ω^3;
   χ(2;4) = Exp(2πi/10×4) = Exp(4πi/5) = ω^4;
   χ(2;5) = Exp(2πi/10×5) = Exp(5πi/5) = -1;
   χ(2;6) = Exp(2πi/10×6) = Exp(6πi/5) = Exp(6πi/5-2πi) = Exp(-4πi/5)= -ω^4;
   χ(2;7) = Exp(2πi/10×7) = Exp(7πi/5) = Exp(7πi/5-2πi) = Exp(-3πi/5)= -ω^3;
   χ(2;8) = Exp(2πi/10×8) = Exp(8πi/5) = Exp(8πi/5-2πi) = Exp(-2πi/5)= -ω^2;
   χ(2;9) = Exp(2πi/10×9) = Exp(9πi/5) = Exp(9πi/5-2πi) = Exp(-πi/5)= -ω = χ10(2);
∵ χ(4) = χ(2) × χ(2) (mod 11 )
∴ χ(4;0) = (χ(2;1))^2 = 1= χ1(4);
   χ(4;1) = (χ(2;1))^2 = ω^2;
   χ(4;2) = (χ(2;2))^2 = ω^4;
   χ(4;3) = (χ(2;3))^2 = (Exp(3πi/5))^2 = Exp(6πi/5) = -ω^4;
   χ(4;4) = (χ(2;4))^2 = (Exp(4πi/5))^2 = Exp(8πi/5) = -ω^2;
   χ(4;5) = (χ(2;5))^2 = (-1)^2 = 1;
   χ(4;6) = (χ(2;6))^2 = (Exp(6πi/5))^2; = Exp(12πi/5) = ω^2;
   χ(4;7) = (χ(2;7))^2 = (Exp(7πi/5))^2; = Exp(14πi/5) = ω^4;
   χ(4;8) = (χ(2;8))^2 = (Exp(8πi/5))^2; = Exp(16πi/5) = -ω^4;
   χ(4;9) = (χ(2;9))^2 = (Exp(9πi/5))^2; = Exp(18πi/5) = -ω^2 =χ10(4);
依次類推,可以計算剩余的χ(n)
χ(5) = χ(4) × χ(4) ( mod 11 ), χ(3) = χ(5) × χ(5) ( mod 11 )
χ(9) = χ(3) × χ(3) ( mod 11 ), χ(8) = χ(2) × χ(4) ( mod 11 )
χ(10)= χ(2) × χ(5) ( mod 11 ), χ(6) = χ(2) × χ(3) ( mod 11 )
χ(7) = χ(2) × χ(9) ( mod 11 ), χ(1) = χ(2) × χ(6) ( mod 11 )
最終可得
 n = ?  0  1  [2]   3    [4]  ... 9     10
 χ1(n)  0  1  1    1     1    ... 1    1
 χ2(n)  0  1  ω     -ω^2 ω^2  ... -ω^4  -1
 χ3(n)  0  1  ω^2   -ω^4  ω^4  ...ω^2   1
 χ4(n)  0  1  ω^3   ω^4   -ω^4 ...-ω^2  -1
 χ5(n)  0  1  ω^4   ω^2   -ω^2 ... ω^4  1
 χ6(n)  0  1  -1   1     1    ... 1    -1
 χ7(n)  0  1  -ω^4  -ω^2  ω^2  ...-ω^4  1
 χ8(n)  0  1  -ω^3  -ω^4  ω^4  ...ω^2   -1
 χ9(n)  0  1  -ω^2  ω^4   -ω^4 ...-ω^2  1
χ10(n)  0  1  -ω    ω^2   -ω^2 ...ω^4   -1
可使用如下命令計算Dirichlet特征:
Table[DirichletCharacter[11, j, n], {j, 1, EulerPhi[11]}, {n, 0, 10}] // Grid
C_10的特征標表:
(1,0) (1,0) (1,0) (1,0) (1,0) (1,0) (1,0) (1,0) (1,0) (1,0)
(1,0) (0.809017,0.587785) (0.309017,0.951057) (-0.309017,0.951057)(-0.809017,0.587785) (-1,0) (-0.809017,-0.587785) (-0.309017,-0.951057)(0.309017,-0.951057) (0.809017,-0.587785)
(1,0) (0.309017,0.951057) (-0.809017,0.587785) (-0.809017,-0.587785)(0.309017,-0.951057) (1,-5.55112e-017) (0.309017,0.951057) (-0.809017,0.587785)(-0.809017,-0.587785) (0.309017,-0.951057)
(1,0) (-0.309017,0.951057) (-0.809017,-0.587785) (0.809017,-0.587785)(0.309017,0.951057) (-1,1.66533e-016) (0.309017,-0.951057) (0.809017,0.587785)(-0.809017,0.587785) (-0.309017,-0.951057)
(1,0) (-0.809017,0.587785) (0.309017,-0.951057) (0.309017,0.951057)(-0.809017,-0.587785) (1,-5.55112e-017) (-0.809017,0.587785)(0.309017,-0.951057) (0.309017,0.951057) (-0.809017,-0.587785)
(1,0) (-1,0) (1,-5.55112e-017) (-1,1.66533e-016) (1,-5.55112e-017)(-1,1.66533e-016) (1,-1.11022e-016) (-1,1.11022e-016) (1,-1.11022e-016)(-1,1.11022e-016)
(1,0) (-0.809017,-0.587785) (0.309017,0.951057) (0.309017,-0.951057)(-0.809017,0.587785) (1,-1.11022e-016) (-0.809017,-0.587785)(0.309017,0.951057) (0.309017,-0.951057) (-0.809017,0.587785)
(1,0) (-0.309017,-0.951057) (-0.809017,0.587785) (0.809017,0.587785)(0.309017,-0.951057) (-1,1.11022e-016) (0.309017,0.951057) (0.809017,-0.587785)(-0.809017,-0.587785) (-0.309017,0.951057)
(1,0) (0.309017,-0.951057) (-0.809017,-0.587785) (-0.809017,0.587785)(0.309017,0.951057) (1,-1.11022e-016) (0.309017,-0.951057)(-0.809017,-0.587785) (-0.809017,0.587785) (0.309017,0.951057)
(1,0) (0.809017,-0.587785) (0.309017,-0.951057) (-0.309017,-0.951057)(-0.809017,-0.587785) (-1,1.11022e-016) (-0.809017,0.587785)(-0.309017,0.951057) (0.309017,0.951057) (0.809017,0.587785)
gap>g:=CyclicGroup(10);;IdGroup(g);cl:=ConjugacyClasses(g);;L1:=List(cl,Representative);;L2:=List(cl,Centralizer);;L3:=List(L2,IdGroup);;L4:=List(cl,Size);;tbl:=CharacterTable( g );;Display( tbl );
[ 10, 2 ]
CT5

      2  1   1  1  1  1  1  1   1  1   1
      5  1   1  1  1  1  1  1   1  1   1

        1a 10a 5a 10b 5b 2a 5c 10c 5d10d

X.1      1   1  1  1  1  1  1   1  1   1
X.2      1  -1  1  -1  1 -1 1  -1  1  -1
X.3      1   A  B  /B /A 1  A   B /B  /A
X.4      1  -A  B -/B /A -1  A  -B/B -/A
X.5      1   B /A   A /B 1  B  /A  A  /B
X.6      1  -B /A  -A /B -1  B-/A  A -/B
X.7      1  /B  A  /A  B  1/B   A /A   B
X.8      1 -/B  A -/A  B -1 /B  -A/A  -B
X.9      1  /A /B   B  A  1/A  /B  B   A
X.10     1 -/A /B  -B  A -1 /A -/B  B -A

A = E(5)^3
B = E(5)
G8ElementToOrder(0)=1
G8ElementToOrder(1)=4
G8ElementToOrder(2)=4
G8ElementToOrder(3)=2
G8ElementToOrder(4)=2
G8ElementToOrder(5)=4
G8ElementToOrder(6)=4
G8ElementToOrder(7)=2
GAP[8,2]=C_2×C_4=U20有1個1階元,3個2階元,4個4階元,0個8階元
gap> U20:=Units(Integers mod20);;IdGroup(U20);g:=U20;;cl:=ConjugacyClasses(g);;L1:=List(cl,Representative);;L2:=List(cl,Centralizer);;L3:=List(L2,IdGroup);;L4:=List(cl,Size);;tbl:=CharacterTable( g );;Display( tbl );
[ 8, 2 ]
CT6

     2  3  3  3  3  3 3  3  3

       1a 4a 4b 2a 2b 4c 4d 2c

X.1     1  1  1  1  1 1  1  1
X.2     1 -1 -1  1  1 -1 -1  1
X.3     1 -1 -1  1 -1  1  1 -1
X.4     1  1  1  1 -1 -1 -1 -1
X.5     1  A -A -1  1  A -A -1
X.6     1 -A  A -1  1 -A  A -1
X.7     1 -A  A -1 -1  A -A  1
X.8     1  A -A -1 -1 -A  A  1

A = -E(4)
  = -Sqrt(-1) = -i
模20的狄利克雷特征
http://www.di-mgt.com.au/cgi-bin/dirichlet.cgi?k=20&submit=+Go+
Dirichlet characters modulo 20
k = 20, φ(k) = 8, (Z/kZ)* ? C4 x C2, generators = 3,19
G={1,3,7,9,11,13,17,19}, λ = 4, w2 = -1, w = exp(πi/2)
X(n) mod 20 n 1 3 7 9 11 13 17 19
X1(n) 1 1 1 1 1 1 1 1
X2(n) 1 i -i -1 -1 -i i 1
X3(n) 1 -1 -1 1 1 -1 -1 1
X4(n) 1 -i i -1 -1 i -i 1
X5(n) 1 1 1 1 -1 -1 -1 -1
X6(n) 1 i -i -1 1 i -i -1
X7(n) 1 -1 -1 1 -1 1 1 -1
X8(n) 1 -i i -1 1 -i i -1
X(n) mod 20
------------------------------
n       1  3  7  9 11 13 1719
------------------------------
X_1(n)  1  1  1  1  1  1  1  1
X_2(n)  1  i -i -1 -1 -i  i  1
X_3(n)  1 -1 -1  1  1 -1 -1  1
X_4(n)  1 -i  i -1 -1  i -i  1
X_5(n)  1  1  1  1 -1 -1 -1 -1
X_6(n)  1  i -i -1  1  i -i -1
X_7(n)  1 -1 -1  1 -1  1  1 -1
X_8(n)  1 -i  i -1  1 -i  i -1
------------------------------?
GAP4[16,5]=G16_3=C_2×C_8=U32有1個1階元,3個2階元,4個4階元,8個8階元,0個16階元
GAP4[16,10]=G16_4=C_2×C_2×C_4=U40=U48有1個1階元,7個2階元,8個4階元,0個8階元,0個16階元
16階非循環阿貝爾群:K_4×C_4=U40=U48≠GAP4[16,14]=K_4×K_4≠C_8×C_2=U32≠GAP4[16,2]=C_4×C_4
gap> G:=DirectProduct(CyclicGroup(2),CyclicGroup(8));;IdGroup(G);
[ 16, 5 ]
gap>G:=DirectProduct(CyclicGroup(2),CyclicGroup(2),CyclicGroup(4));;IdGroup(G);
[ 16, 10 ]
gap>G:=DirectProduct(CyclicGroup(2),CyclicGroup(2),CyclicGroup(2),CyclicGroup(2));;IdGroup(G);
[ 16, 14 ]
gap> G:=DirectProduct(CyclicGroup(4),CyclicGroup(4));;IdGroup(G);
[ 16, 2 ]
12階群有5個:GAP4[ 12, 5 ]=Z_2+Z_2+Z_3=K_4+Z_3=C_3×K_4=C_2×C_6=C_2×C_2×C_3,GAP4[ 12, 2 ]=Z_12=Z_4+Z_3,GAP4[ 12, 4 ]=D_6=D_3×C_2=D_12,GAP4[ 12, 3 ]=A_4,GAP4[ 12, 1 ]=T=Q_12
GAP4[12,5]=C2C2C3=U21=U28有1個1階元,3個2階元,2個3階元,0個4階元,6個6階元,0個12階元
gap> U21:=Units(Integers mod 21);;IdGroup(U21);
[ 12, 5 ]
gap> U28:=Units(Integers mod 28);;IdGroup(U28);
[ 12, 5 ]
某網友問題:根據12階群的凱萊表求特征標表,並根據特征標表判斷是哪一種12階群。
首先確定有四個類,{E}、{LMN}、{ACFJ}和{BDIK},所以有四個不可約表示。又因為階數為12,只可能12=1^2+1^2+1^2+3^2,故有3個一維不可約表示和一個三維不可約表示。然后根據兩個特征標的正交性定理,可以解得:
E         LMN         ACFJ           BDIK
 1           1             1               1
 1           1       exp(-i2pi/3)   exp(i2pi/3)
 1           1       exp(i2pi/3)   exp(-i2pi/3)
 3          -1             0               0
然后根據下列定理可知,該群為12階群A_4。
20151018補充:定理:5種12階群與它們的特征標表一一對應
gap>g:=SmallGroup(12,1);;cl:=ConjugacyClasses(g);;L1:=List(cl,Representative);;L2:=List(cl,Centralizer);;L3:=List(L2,IdGroup);;L4:=List(cl,Size);;tbl:=CharacterTable( g );;Display( tbl );
CT2

     2  2  2  2 1  2  1
     3  1  .  1  1  .  1

       1a 4a 2a 3a 4b 6a
    2P 1a 2a 1a 3a 2a 3a
    3P 1a 4b 2a 1a 4a 2a
    5P 1a 4a 2a 3a 4b 6a

X.1     1  1  1 1  1  1
X.2     1 -1  1  1 -1  1
X.3     1  A -1  1 -A -1
X.4     1 -A -1  1  A -1
X.5     2  . -2 -1  .  1
X.6     2  .  2 -1  . -1

A = -E(4)
  = -Sqrt(-1) = -i
gap>g:=SmallGroup(12,2);;cl:=ConjugacyClasses(g);;L1:=List(cl,Representative);;L2:=List(cl,Centralizer);;L3:=List(L2,IdGroup);;L4:=List(cl,Size);;tbl:=CharacterTable( g );;Display( tbl );
CT3

      2  2  2 2  2   2  2  2   2   2  2   2   2
      3  1  1  1  1  1  1  1   1   1   1  1   1

        1a 4a 3a 2a12a 4b 3b  6a 12b 12c  6b 12d
     2P 1a 2a 3b 1a  6b 2a 3a  3b  6a 6b  3a  6a
     3P 1a 4b 1a 2a  4b 4a 1a  2a  4b 4a  2a  4a
     5P 1a 4a 3b 2a 12b 4b 3a  6b 12a 12d  6a 12c
     7P 1a 4b 3a 2a 12c 4a 3b  6a 12d 12a  6b 12b
    11P 1a 4b 3b 2a 12d 4a 3a  6b 12c 12b  6a 12a

X.1      1  1  1 1   1  1  1   1   1  1   1   1
X.2      1 -1  1  1  -1 -1 1   1  -1  -1   1  -1
X.3      1 -1  B  1  -B -1/B   B -/B  -B  /B -/B
X.4      1 -1 /B  1 -/B -1  B  /B -B -/B   B  -B
X.5      1  1  B  1   B 1 /B   B  /B   B  /B  /B
X.6      1  1 /B  1  /B  1 B  /B   B  /B   B   B
X.7      1  A  1 -1   A -A 1  -1   A  -A  -1  -A
X.8      1 -A  1 -1  -A  A 1  -1  -A   A  -1   A
X.9      1  A  B -1   C -A/B  -B -/C  -C -/B  /C
X.10     1  A /B -1 -/C -A  B -/B  C  /C  -B  -C
X.11     1 -A  B -1  -C  A /B  -B /C   C -/B -/C
X.12     1 -A /B -1  /C  A  B -/B  -C-/C  -B   C

A = -E(4)
  = -Sqrt(-1) = -i
B = E(3)^2
  = (-1-Sqrt(-3))/2 = -1-b3
C = -E(12)^11
gap>g:=SmallGroup(12,3);;cl:=ConjugacyClasses(g);;L1:=List(cl,Representative);;L2:=List(cl,Centralizer);;L3:=List(L2,IdGroup);;L4:=List(cl,Size);;tbl:=CharacterTable( g );;Display( tbl );
CT4

     2  2  .  2 .
     3  1  1  .  1

       1a 3a 2a 3b
    2P 1a 3b 1a 3a
    3P 1a 1a 2a 1a

X.1     1  1  1  1
X.2     1  A  1 /A
X.3     1 /A  1  A
X.4     3  . -1  .

A = E(3)^2
  = (-1-Sqrt(-3))/2 = -1-b3
gap>g:=SmallGroup(12,4);;cl:=ConjugacyClasses(g);;L1:=List(cl,Representative);;L2:=List(cl,Centralizer);;L3:=List(L2,IdGroup);;L4:=List(cl,Size);;tbl:=CharacterTable( g );;Display( tbl );
CT5

     2  2  2  2 1  2  1
     3  1  .  1  1  .  1

       1a 2a 2b 3a 2c 6a
    2P 1a 1a 1a 3a 1a 3a
    3P 1a 2a 2b 1a 2c 2b
    5P 1a 2a 2b 3a 2c 6a

X.1     1  1  1 1  1  1
X.2     1 -1 -1  1  1 -1
X.3     1 -1  1  1 -1  1
X.4     1  1 -1  1 -1 -1
X.5     2  . -2 -1  .  1
X.6     2  .  2 -1  . -1
gap>g:=SmallGroup(12,5);;cl:=ConjugacyClasses(g);;L1:=List(cl,Representative);;L2:=List(cl,Centralizer);;L3:=List(L2,IdGroup);;L4:=List(cl,Size);;tbl:=CharacterTable( g );;Display( tbl );
CT6

      2  2  2 2  2  2   2   2  2   2  2   2   2
      3  1  1  1  1 1   1   1  1   1   1  1   1

        1a 2a 2b 3a2c  6a  6b 3b  6c  6d  6e  6f
     2P 1a 1a 1a 3b 1a  3b  3b 3a  3b 3a  3a  3a
     3P 1a 2a 2b 1a 2c  2a  2b 1a  2c 2a  2b  2c
     5P 1a 2a 2b 3b 2c  6d  6e 3a  6f 6a  6b  6c

X.1      1  1  1 1  1   1   1  1   1  1   1   1
X.2      1 -1 -1  1  1  -1 -1  1   1  -1  -1   1
X.3      1 -1  1  1 -1  -1  1  1  -1  -1   1  -1
X.4      1  1 -1  1 -1   1 -1  1  -1   1  -1  -1
X.5      1 -1 -1  A  1  -A  -A/A   A -/A -/A  /A
X.6      1 -1 -1 /A  1 -/A -/A  A /A  -A  -A   A
X.7      1 -1  1  A -1  -A  A /A  -A -/A  /A -/A
X.8      1 -1  1 /A -1 -/A  /A  A-/A  -A   A  -A
X.9      1  1 -1  A -1   A -A /A  -A  /A -/A -/A
X.10     1  1 -1 /A -1  /A -/A  A-/A   A  -A  -A
X.11     1  1  1  A  1  A   A /A   A  /A  /A  /A
X.12     1  1  1 /A  1  /A /A  A  /A   A   A   A

A = E(3)^2
  = (-1-Sqrt(-3))/2 = -1-b3
----24階交換群GAP4[24,15]=C_6×K_4=U84群元的階----
//1個1階元,7個2階元,2個3階元,14個6階元
----24階交換群GAP4[24,9]=C_6×C_4=U35=U39群元的階----
//1個1階元,3個2階元,2個3階元,4個4階元,6個6階元,8個12階元
gap> U84:=Units(Integers mod 84);;IdGroup(U84);
[ 24, 15 ]
gap> U39:=Units(Integers mod 39);;IdGroup(U39);
[ 24, 9 ]
gap> U35:=Units(Integers mod 35);;IdGroup(U35);
[ 24, 9 ]
1-10階群的不等價不可約的特征標表示
http://www.docin.com/p-61145443.html
定理:2種4階群與它們的特征標表一一對應;3種8階Abel群與它們的特征表一一對應。
C_2×C_2=D_2=V_4
1,1,1,1
1,1,-1,-1
1,-1,1,-1
1,-1,-1,1
gap>g:=DirectProduct(CyclicGroup(2),CyclicGroup(2));;IdGroup(g);cl:=ConjugacyClasses(g);;L1:=List(cl,Representative);;L2:=List(cl,Centralizer);;L3:=List(L2,IdGroup);;L4:=List(cl,Size);;tbl:=CharacterTable( g );;Display( tbl );
[ 4, 2 ]
CT1

     2  2  2  2 2

       1a 2a 2b 2c

X.1     1  1  1  1
X.2     1 -1  1 -1
X.3     1  1 -1 -1
X.4     1 -1 -1  1
D_3
1,1,1
1,1,-1
2,-1,0
D_4
1,1,1,1,1
1,1,1,-1,-1
1,-1,1,1,-1
1,-1,1,-1,1
2,0,-2,0,0
D_5
p=2cos(2pi/5)=(sqrt(5)-1)/2
p^(-1)=-2cos(4pi/5)=(sqrt(5)+1)/2
1,1,1,1
1,1,1,-1
2,p,-p^(-1),0
2,-p^(-1),p,0
Q_8
1,1,1,1,1
1,1,1,-1,-1
1,-1,1,1,-1
1,-1,1,-1,1
2,0,-2,0,0
gap> G:=Units(GF(16));;IdGroup(G);
[ 15, 1 ]
gap> U16:=Units(Integers mod 16);;IdGroup(U16);
[ 8, 2 ]
U16=C_2×C_4
gap>g:=DirectProduct(CyclicGroup(2),CyclicGroup(4));;IdGroup(g);cl:=ConjugacyClasses(g);;L1:=List(cl,Representative);;L2:=List(cl,Centralizer);;L3:=List(L2,IdGroup);;L4:=List(cl,Size);;tbl:=CharacterTable( g );;Display( tbl );
[ 8, 2 ]
CT8

     2  3  3  3  3  3 3  3  3

       1a 2a 4a 2b 4b 2c 4c4d

X.1     1  1  1  1  1 1  1  1
X.2     1 -1  1  1 -1 -1  1 -1
X.3     1  1 -1  1 -1  1 -1 -1
X.4     1 -1 -1  1  1 -1 -1  1
X.5     1  1  A -1  A -1 -A -A
X.6     1 -1  A -1 -A  1 -A  A
X.7     1  1 -A -1 -A -1  A  A
X.8     1 -1 -A -1  A  1  A -A

A = E(4)
  = Sqrt(-1) = i
C_2×C_2×C_2
gap>g:=DirectProduct(CyclicGroup(2),CyclicGroup(2),CyclicGroup(2));;IdGroup(g);cl:=ConjugacyClasses(g);;L1:=List(cl,Representative);;L2:=List(cl,Centralizer);;L3:=List(L2,IdGroup);;L4:=List(cl,Size);;tbl:=CharacterTable( g );;Display( tbl );
[ 8, 5 ]
CT9

     2  3  3  3  3  3 3  3  3

       1a 2a 2b 2c 2d 2e 2f2g

X.1     1  1  1  1  1 1  1  1
X.2     1 -1  1  1 -1 -1  1 -1
X.3     1  1 -1  1 -1  1 -1 -1
X.4     1 -1 -1  1  1 -1 -1  1
X.5     1  1  1 -1  1 -1 -1 -1
X.6     1 -1  1 -1 -1  1 -1  1
X.7     1  1 -1 -1 -1 -1  1  1
X.8     1 -1 -1 -1  1  1  1 -1
gap>g:=CyclicGroup(8);;IdGroup(g);cl:=ConjugacyClasses(g);;L1:=List(cl,Representative);;L2:=List(cl,Centralizer);;L3:=List(L2,IdGroup);;L4:=List(cl,Size);;tbl:=CharacterTable( g );;Display( tbl);                                         [ 8, 1 ]
CT10

     2  3   3  3 3   3   3  3   3

       1a  8a 4a 2a  8b  8c4b  8d

X.1     1   1  1  1  1   1  1   1
X.2     1  -1  1  1  -1  -1 1  -1
X.3     1   A -1  1  -A   A-1  -A
X.4     1  -A -1  1   A  -A-1   A
X.5     1   B  A -1 -/B  -B -A  /B
X.6     1  -B  A -1  /B   B -A -/B
X.7     1 -/B -A -1   B  /B  A  -B
X.8     1  /B -A -1  -B -/B  A   B

A = E(4)
  = Sqrt(-1) = i
B = E(8)
C_3×C_3
由八階非交換群D_4和Q_8的特征標表說明不同構的群,可以有相同的特征標表,因此,特征標表所提供的關於群結構的信息是不完全的,但是它還能說明很多問題,
譬如:可由群的特征標表讀出有限群結構的某些信息,例如特征標的核、群的正規子群、群是否是單群、群的商群的特征標表、群的可解性、冪零性等。因此,特征表理論是群表示論的最有力的工具之一。
//C++程序輸出循環群C_3的特征標表
(1,0) (1,0) (1,0)
(1,0) (-0.5,0.866025) (-0.5,-0.866025)
(1,0) (-0.5,-0.866025) (-0.5,0.866025)
#include "stdafx.h"
#include<iostream>
#include<complex>
#include<vector>
using namespace std;
void PrintCharacterTable(constvector<vector<complex<double>>> &vv)
{
 vector<complex<double>>::const_iterator vi;
 vector<vector<complex<double>>>::const_iterator vvi;
 for(vvi=vv.begin(); vvi!=vv.end(); vvi++)
 {
  for(vi=(*vvi).begin(); vi!=(*vvi).end(); vi++)
  {
   cout << (*vi)<<" ";
  }
  cout << endl;
 }
 return;
}
int main()
{
 int n=3;
 const double pi=atan2((double)0,-1);
 complex<double>  Wn=exp(complex<double>(0,2*pi/n));
 vector<vector<complex<double>>> vv(n);
 vector<complex<double>> v(n);
#if 1
 //(1,0)
 //(1,0) (1,0)
 //(1,0) (-1,1.22465e-016)
 //(1,0) (1,0) (1,0)
 //(1,0) (-0.5,0.866025) (-0.5,-0.866025)
 //(1,0) (-0.5,-0.866025) (-0.5,0.866025)
 //(1,0) (1,0) (1,0) (1,0)
 //(1,0) (6.12323e-017,1) (-1,1.22465e-016) (-1.83697e-016,-1)
 //(1,0) (-1,1.22465e-016) (1,-2.44929e-016) (-1,3.67394e-016)
 //(1,0) (-1.83697e-016,-1) (-1,3.67394e-016) (5.51091e-016,1)
 //(1,0) (1,0) (1,0) (1,0) (1,0)
 //(1,0) (0.309017,0.951057) (-0.809017,0.587785) (-0.809017,-0.587785)(0.309017,-0.951057)
 //(1,0) (-0.809017,0.587785) (0.309017,-0.951057) (0.309017,0.951057)(-0.809017,-0.587785)
    //(1,0) (-0.809017,-0.587785) (0.309017,0.951057)(0.309017,-0.951057) (-0.809017,0.587785)
 //(1,0) (0.309017,-0.951057) (-0.809017,-0.587785) (-0.809017,0.587785)(0.309017,0.951057)
 //(1,0) (1,0) (1,0) (1,0) (1,0) (1,0)
 //(1,0) (0.5,0.866025) (-0.5,0.866025) (-1,3.88578e-016) (-0.5,-0.866025)(0.5,-0.866025)
 //(1,0) (-0.5,0.866025) (-0.5,-0.866025) (1,-8.32667e-016)(-0.5,0.866025) (-0.5,-0.866025)
    //(1,0) (-1,3.88578e-016) (1,-8.32667e-016)(-1,1.33227e-015) (1,-1.77636e-015) (-1,2.16493e-015)
 //(1,0) (-0.5,-0.866025) (-0.5,0.866025) (1,-1.77636e-015)(-0.5,-0.866025) (-0.5,0.866025)
 //(1,0) (0.5,-0.866025) (-0.5,-0.866025) (-1,2.16493e-015)(-0.5,0.866025) (0.5,0.866025)
 for(int i=0;i<n;i++)
 {
  for(int j=0;j<n;j++)
  {
   v[j]=pow(Wn,i*j);
  }
        vv[i]=v;
 }
#endif
#if 0
 //(1,0) (1,0) (1,0)
 //(1,0) (-0.5,0.866025) (-0.5,-0.866025)
 //(1,0) (-0.5,-0.866025) (-0.5,0.866025)
 // 1維平凡表示χ_0
 for(int i=0;i<n;i++)
 {
  v[i]=complex<double>(1,0);
 }
 vv[0]=v;
 // 1維忠實表示χ_1
 for(int i=0;i<n;i++)
 {
  v[i]=pow(Wn,i);
 }
 vv[1]=v;
 // 1維忠實表示χ_2=χ_1·χ_1
 for(int i=0;i<n;i++)
 {
  v[i]=v[i]*v[i];
 }
 vv[2]=v;
#endif
 PrintCharacterTable(vv);
  system("pause");
 return 0;
}
gap>g:=CyclicGroup(3);;IdGroup(g);cl:=ConjugacyClasses(g);;L1:=List(cl,Representative);;L2:=List(cl,Centralizer);;L3:=List(L2,IdGroup);;L4:=List(cl,Size);;tbl:=CharacterTable( g );;Display( tbl );
[ 3, 1 ]
CT3

     3  1  1  1

       1a 3a 3b

X.1     1  1  1
X.2     1  A /A
X.3     1 /A  A

A = E(3)
  = (-1+Sqrt(-3))/2 = b3
gap> g:=CyclicGroup(6);;IdGroup(g);cl:=ConjugacyClasses(g);;L1:=List(cl,Representative);;L2:=List(cl,Centralizer);;L3:=List(L2,IdGroup);;L4:=List(cl,Size);;tbl:=CharacterTable( g );;Display( tbl );
[ 6, 2 ]
CT4

     2  1   1  1  1 1   1
     3  1   1  1  1 1   1

       1a  6a 3a 2a 3b  6b

X.1     1   1  1  1 1   1
X.2     1  -1  1 -1  1  -1
X.3     1   A /A  1  A  /A
X.4     1  -A /A -1  A -/A
X.5     1  /A  A  1 /A   A
X.6     1 -/A  A -1 /A  -A

A = E(3)^2
  = (-1-Sqrt(-3))/2 = -1-b3
數論中的偶數階Abel群的階
totient(2)=1
totient(3)=2
totient(4)=2
totient(5)=4
totient(6)=2
totient(7)=6
totient(8)=4
totient(9)=6
totient(10)=4
totient(11)=10
totient(12)=4
totient(13)=12
totient(14)=6
totient(15)=8
totient(16)=8
totient(17)=16
totient(18)=6
totient(19)=18
totient(20)=8
totient(21)=12
totient(22)=10
totient(23)=22
totient(24)=8
totient(25)=20
totient(26)=12
totient(27)=18
totient(28)=12
totient(29)=28
totient(30)=8
totient(31)=30
totient(32)=16
totient(33)=20
totient(34)=16
totient(35)=24
totient(36)=12
totient(37)=36
totient(38)=18
totient(39)=24
totient(40)=16
totient(41)=40
totient(42)=12
totient(43)=42
totient(44)=20
totient(45)=24
totient(46)=22
totient(47)=46
totient(48)=16
totient(49)=42
totient(50)=20
totient(51)=32
totient(52)=24
totient(53)=52
totient(54)=18
totient(55)=40
totient(56)=24
totient(57)=36
totient(58)=28
totient(59)=58
totient(60)=16
totient(61)=60
totient(62)=30
totient(63)=36
totient(64)=32
totient(65)=48
totient(66)=20
totient(67)=66
totient(68)=32
totient(69)=44
totient(70)=24
totient(71)=70
totient(72)=24
totient(73)=72
totient(74)=36
totient(75)=40
totient(76)=36
totient(77)=60
totient(78)=24
totient(79)=78
totient(80)=32
totient(81)=54
totient(82)=40
totient(83)=82
totient(84)=24
totient(85)=64
totient(86)=42
totient(87)=56
totient(88)=40
totient(89)=88
totient(90)=24
totient(91)=72
totient(92)=44
totient(93)=60
totient(94)=46
totient(95)=72
totient(96)=32
totient(97)=96
totient(98)=42
totient(99)=60
//C++程序輸出Abel群U(n)=(Z/nZ)^*的凱萊表
1 2 3 4
2 1 4 3
3 4 1 2
4 3 2 1
1 2 3 4 5 6 7 8
2 3 5 8 1 4 6 7
3 5 1 7 2 8 4 6
4 8 7 3 6 2 1 5
5 1 2 6 3 7 8 4
6 4 8 2 7 1 5 3
7 6 4 1 8 5 3 2
8 7 6 5 4 3 2 1
#include <vector>
#include <iostream>
using namespace std;
// a helper function not currently being used (although it’s handy,
// for instance, in checking the order of a power of a character).
// harnesses the euclidean algorithm to return the gcd of two numbers.
//利用歐幾里得算法計算兩個數的最大公約數
int gcd(int a, int b)
{
 //int temp;
 if(b == 0) return a;
 if(a == 0) return b;
 if(a%b == 0) return b;
 else return gcd(b, a%b);
}
vector<int> totient(int num)
{
 vector<int> ret;
 if(num==1)
 {
  vector<int> ret1(1);
  ret1[0]=1;
  return ret1;
 }
 for(int i=1;i<=num-1;i++)
 {
  if(gcd(num,i)==1)
  {
   ret.push_back(i);
  }
 }
 return ret;
}
 
vector<vector<int>> UnMulTable(int n,const vector<int> &v)
{
 vector<vector<int>> ret(v.size());
 for(int i=0;i<v.size();i++)
 {
  vector<int> I(v.size());
  for(int j=0;j<v.size();j++)
  {
   int ij=(v[i]*v[j])%n;
   int index=-1;
   for(int k=0;k<v.size();k++)
   {
    if(v[k]==ij)
    {
     index=k;
     break;
    }
   }
   I[j]=index+1;
  }
  ret[i]=I;
 }
 return ret;
}
void PrintUnMulTable(const vector<vector<int>> &vv)
{
 vector<int>::const_iterator vi;
 vector<vector<int>>::const_iterator vvi;
 for(vvi=vv.begin(); vvi!=vv.end(); vvi++)
 {
  for(vi=(*vvi).begin(); vi!=(*vvi).end(); vi++)
  {
   cout << (*vi)<<" ";
  }
  cout << endl;
 }
 return;
}
int main()
{
 //for(int i=1;i<=100;i++)
 // printf("totient(%d)=%d\n",i,totient(i).size());
 //U(8) ={[1]_8,[3]_8,[5]_8,[7]_8}=K_4≠C_4,<=>8沒有原根
 gap> U8:=Units(Integers mod 8);;IdGroup(U8);
[ 4, 2 ]
gap> G:=Units(GF(8));;IdGroup(G);
[ 7, 1 ]
//U(15)=U(3)×U(5)=C_2×C_4,<=>15沒有原根
 gap> U15:=Units(Integers mod 15);;IdGroup(U15);
[ 8, 2 ]
vector<vector<int>> U8=UnMulTable(8,totient(8));
 vector<vector<int>> U15=UnMulTable(15,totient(15));
 PrintUnMulTable(U8);
 PrintUnMulTable(U15);
 system("pause");
 return 0;
}

 



gap> m:=[[E(4),1],[1,E(4)]];DeterminantMat(m);
[ [ E(4), 1 ], [ 1, E(4) ] ]
-2
gap> m^-1;
[ [ -1/2*E(4), 1/2 ], [ 1/2, -1/2*E(4) ] ]
gap> DeterminantMat(m^-1);
-1/2
gap> m1:=TransposedMat(m);
[ [ E(4), 1 ], [ 1, E(4) ] ]

定理:有限群不等價不可約表示維數平方和等於群的階數∑[j](m_j)^2=g
gap> g:=SymmetricGroup(4);;cl:=ConjugacyClasses(g);
[ ()^G, (1,2)^G, (1,2)(3,4)^G, (1,2,3)^G, (1,2,3,4)^G ]
gap> L1:=List(cl,Representative);L2:=List(cl,Centralizer);L3:=List(L2,IdGroup);L4:=List(cl,Size);
[ (), (1,2), (1,2)(3,4), (1,2,3), (1,2,3,4) ]
[ Group([ (1,4), (2,4), (3,4) ]), Group([ (1,2), (3,4) ]), Group([ (1,2), (1,3)(2,4), (3,4) ]), Group([ (1,2,3) ]),
  Group([ (1,2,3,4) ]) ]
[ [ 24, 12 ], [ 4, 2 ], [ 8, 3 ], [ 3, 1 ], [ 4, 1 ] ]
[ 1, 6, 3, 8, 6 ]
S_4共有24個元素,有5個共軛點,共5個不可約表示的維數分別為1,1,2,3,3,
1+1+2^2+3^2+3^2=24。
特征標表為:
gap> g:=SymmetricGroup(4);;L:=Irr(g);List(L,DegreeOfCharacter);
[ Character( CharacterTable( Sym( [ 1 .. 4 ] ) ), [ 1, -1, 1, 1, -1 ] ),
  Character( CharacterTable( Sym( [ 1 .. 4 ] ) ), [ 3, -1, -1, 0, 1 ] ),
  Character( CharacterTable( Sym( [ 1 .. 4 ] ) ), [ 2, 0, 2, -1, 0 ] ),
  Character( CharacterTable( Sym( [ 1 .. 4 ] ) ), [ 3, 1, -1, 0, -1 ] ),
  Character( CharacterTable( Sym( [ 1 .. 4 ] ) ), [ 1, 1, 1, 1, 1 ] ) ]
[ 1, 3, 2, 3, 1 ]
gap> nat:=NaturalCharacter(g);DegreeOfCharacter(nat);
Character( CharacterTable( Sym( [ 1 .. 4 ] ) ), [ 4, 2, 0, 1, 0 ] )
4

gap> tbl:= CharacterTable( g );
CharacterTable( Sym( [ 1 .. 4 ] ) )
gap> Display( tbl );
CT1

     2  3  2  3  .  2
     3  1  .  .  1  .

       1a 2a 2b 3a 4a
    2P 1a 1a 1a 3a 2b
    3P 1a 2a 2b 1a 4a

X.1     1 -1  1  1 -1
X.2     3 -1 -1  .  1
X.3     2  .  2 -1  .
X.4     3  1 -1  . -1
X.5     1  1  1  1  1

對稱群S_3共有6個元素,因此不可約表示的維數只可能是1和2,它只有3個不可約特征標,1+1+2^2=6,不難得出其特征標表:
gap> g:=SymmetricGroup(3);;cl:=ConjugacyClasses(g);L1:=List(cl,Representative);L2:=List(cl,Centralizer);L3:=List(L2,IdGroup);L4:=List(cl,Size);tbl:= CharacterTable( g );;Display( tbl );
[ ()^G, (1,2)^G, (1,2,3)^G ]
[ (), (1,2), (1,2,3) ]
[ Group([ (1,3), (2,3) ]), Group([ (1,2) ]), Group([ (1,2,3) ]) ]
[ [ 6, 1 ], [ 2, 1 ], [ 3, 1 ] ]
[ 1, 3, 2 ]
CT2

     2  1  1  .
     3  1  .  1

       1a 2a 3a
    2P 1a 1a 3a
    3P 1a 2a 1a

X.1     1 -1  1
X.2     2  . -1
X.3     1  1  1
寫一個群的特征標表,通常表內
第一行:給出恆等表示D^1的特征標——GAP4中是最后一行
χ^1_a=1,即表的第一行為1
第一列:給出恆元E表示的特征標——GAP4中也是第一列
χ^i(E)=m_i,即表的第一列為表示的維數
特征標表的構成
表頭:行:群包含的幾個類
設有g_c個類,第a類記為C_a   
前面寫上類元素的個數n(a)
列:群的幾個不等價不可約表示
有限群不等價不可約表示個數=g_c
表中:每一行  是一個不可約表示D^i
對應不同類C_a的特征標χ^i_a(a=1,…,g_c)
每一列  是群每類元素    
在不同表示D^i中的特征標χ^i_a(i=1,…,g_c)
特征標表是一個正方形表:g_c×g_c
由於特征標的正交關系,因此特征標表的任兩行(列)滿足下列正交關系:
行:∑[a=1->g_c]n(a)χ^i_a*χ^j_a=gδ_ij
列:∑[i=1->g_c]n(a)χ^i_a*χ^j_b=gδ_ab
正交關系既是寫特征標表的依據,也是檢驗結果的依據
gap> g:=SymmetricGroup(3);;L:=Irr(g);List(L,DegreeOfCharacter);nat:=NaturalCharacter(g);DegreeOfCharacter(nat);
[ Character( CharacterTable( Sym( [ 1 .. 3 ] ) ), [ 1, -1, 1 ] ), Character( CharacterTable( Sym( [ 1 .. 3 ] ) ),
  [ 2, 0, -1 ] ), Character( CharacterTable( Sym( [ 1 .. 3 ] ) ), [ 1, 1, 1 ] ) ]
[ 1, 2, 1 ]
Character( CharacterTable( Sym( [ 1 .. 3 ] ) ), [ 3, 1, 0 ] )
3

gap> g:=SymmetricGroup(3);;repr:=IrreducibleRepresentations(g);ForAll( repr, IsGroupHomomorphism );Length( repr );gens:= GeneratorsOfGroup( g );List( gens, x -> x^repr[1] );List( gens, x -> x^repr[2] );List( gens, x -> x^repr[3] );
[ Pcgs([ (2,3), (1,2,3) ]) -> [ [ [ 1 ] ], [ [ 1 ] ] ], Pcgs([ (2,3), (1,2,3) ]) -> [ [ [ -1 ] ], [ [ 1 ] ] ],
  Pcgs([ (2,3), (1,2,3) ]) -> [ [ [ 0, 1 ], [ 1, 0 ] ], [ [ E(3), 0 ], [ 0, E(3)^2 ] ] ] ]
true
3
[ (1,2,3), (1,2) ]
[ [ [ 1 ] ], [ [ 1 ] ] ]
[ [ [ 1 ] ], [ [ -1 ] ] ]
[ [ [ E(3), 0 ], [ 0, E(3)^2 ] ], [ [ 0, E(3)^2 ], [ E(3), 0 ] ] ]

gap> g:=SymmetricGroup(3);;p:=SmallerDegreePermutationRepresentation(g);IdGroup(Image(p));
IdentityMapping( Group([ (1,2,3), (1,2) ]) )
[ 6, 1 ]

gap> A4:=Group((),(1,2,3),(1,3,2),(1,2,4),(1,4,2),(1,3,4),(1,4,3),(2,3,4),(2,4,3),(1,2)(3,4),(1,3)(2,4),(1,4)(2,3));;IdGroup(A4);g:=A4;;L:=Irr(g);List(L,DegreeOfCharacter);nat:=NaturalCharacter(g);DegreeOfCharacter(nat);p:=SmallerDegreePermutationRepresentation(g);IdGroup(Image(p));
[ 12, 3 ]
[ Character( CharacterTable( Alt( [ 1 .. 4 ] ) ), [ 1, 1, 1, 1 ] ), Character( CharacterTable( Alt( [ 1 .. 4 ] ) ),
  [ 1, E(3)^2, E(3), 1 ] ), Character( CharacterTable( Alt( [ 1 .. 4 ] ) ), [ 1, E(3), E(3)^2, 1 ] ),
  Character( CharacterTable( Alt( [ 1 .. 4 ] ) ), [ 3, 0, 0, -1 ] ) ]
[ 1, 1, 1, 3 ]
Character( CharacterTable( Alt( [ 1 .. 4 ] ) ), [ 4, 1, 1, 0 ] )
4
IdentityMapping( Alt( [ 1 .. 4 ] ) )
[ 12, 3 ]

定義:若行列式不為零的m*m矩陣集合構成的群D(G)與給定群G同構或同態,則D(G)稱為群G的一個m維線性表示,簡稱表示(representation)。
定義:在D(G)中,與G中元素R對應的矩陣D(R)稱為元素R在表示D(G)中的表示矩陣。
定義:表示矩陣D(R)的跡χ(R)=TrD(R)稱為元素R在表示D(R)中的特征標(character)。
共軛元素特征標相同,因此特征標也是類的函數。
注意
規定:表示矩陣行列式不為零,保證表示矩陣存在逆矩陣。
恆元:表示矩陣D(R)=I
互逆元素:表示矩陣為互逆矩陣D(R^-1)=D(R)^-1
真實表示(忠實表示):D(G)=G。若D(G)=G,且G'=G,則D(G)=G'
恆等表示(平庸、單位、顯然表示):D(R)=1
自身表示:任何矩陣群本身就是自己的表示
定義:設D(G)是群G的一個表示,表示D(G)的特征標記為χ(G),其中群元素R的表示矩陣D(R)對應的特征標χ(R)=TrD(R)=∑[i]D_ii(R),即表示矩陣D(R)對角線上元素和為元素R的特征標。
性質:
等價表示的特征標相等;
同一表示中,共軛元素特征標相等;
特征標是類的函數,即同類元素特征標相等;
恆元的特征標等於表示的維數;
若恆元的表示D(E)的維數為m,則 χ(E)=TrD(E)_(m×m)=m。
上面特征標的性質並不要求群G是有限群,是所有群特征標的普遍性質,下面給出有限群特征標的性質。
gap> a:=PermutationMat((1,2,3),4);b:=PermutationMat((1,3,2),4);a*b;(1,2,3)*(1,3,2);
[ [ 0, 1, 0, 0 ], [ 0, 0, 1, 0 ], [ 1, 0, 0, 0 ], [ 0, 0, 0, 1 ] ]
[ [ 0, 0, 1, 0 ], [ 1, 0, 0, 0 ], [ 0, 1, 0, 0 ], [ 0, 0, 0, 1 ] ]
[ [ 1, 0, 0, 0 ], [ 0, 1, 0, 0 ], [ 0, 0, 1, 0 ], [ 0, 0, 0, 1 ] ]
()
gap> TraceMat(a);TraceMat(b);TraceMat(a*b);
1
1
4
gap> TraceMat(a^2);TraceMat(b^2);
1
1
gap> a^2;b^2;
[ [ 0, 0, 1, 0 ], [ 1, 0, 0, 0 ], [ 0, 1, 0, 0 ], [ 0, 0, 0, 1 ] ]
[ [ 0, 1, 0, 0 ], [ 0, 0, 1, 0 ], [ 1, 0, 0, 0 ], [ 0, 0, 0, 1 ] ]

正則表示(正規表示):任何群都有的一個重要的真實表示。
D(G)稱為群G的正則表示,是G的一個真實表示(D(G)=G)。
注:
每個有限群G都有一個正則表示,維數是有限群G的階|G|。
除恆元外,元素S在正則表示中特征標都為零χ(S)=TrD(S)=|G|,S=E;0,S!=E。
D(S)、~D(S)都是群G的正則表示——表示矩陣形式不唯一。
由乘法表寫出群G的正則表示[群元用|G|*|G|矩陣表示]及內稟正則表示?
G=S_3={I,r,r^2,f,fr,fr^2}={I,f,fr,fr^2,r,r^2}={f1=I,f2=r,f3=r^2,f4=fr,f5=fr^2,f6=f}
乘法表矩陣為:
{
{*,f1,f2,f3,f4,f5,f6},
{f1,f1,f2,f3,f4,f5,f6},
{f2,f2,f3,f1,f5,f6,f4},
{f3,f3,f1,f2,f6,f4,f5},
{f4,f4,f6,f5,f1,f3,f2},
{f5,f5,f4,f6,f2,f1,f3},
{f6,f6,f5,f4,f3,f2,f1}
}
f1=I是函數合成運算的單位元素,而f2=r與f3=r^2互為運算反元素(也就是互為反函數),f4=fr的反元素為自己,f5=fr^2的反元素為自己,f6=f的反元素也是自己。f4*f2=f6,f2*f4=f5。
S_3的正則表示:
D(f1)={
{1,0,0,0,0,0},
{0,1,0,0,0,0},
{0,0,1,0,0,0},
{0,0,0,1,0,0},
{0,0,0,0,1,0},
{0,0,0,0,0,1}
}
D(f2)={
{0,0,1,0,0,0},
{1,0,0,0,0,0},
{0,1,0,0,0,0},
{0,0,0,0,0,1},
{0,0,0,1,0,0},
{0,0,0,0,1,0}
}
……
gap> g:=SymmetricGroup(3);;gid:=IdGroup(g);s:=Elements(g);m:=MultiplicationTable(g);Print("置換陣表示1:\n");for si in s do ai:=PermutationMat(si,gid[1]);Print(ai);Print(",Tr:");Print(TraceMat(ai));Print("\n");od;Print("置換陣表示2:\n");for mi in m do bi:=PermList(mi);ci:=PermutationMat(bi,gid[1]);Print("PermList:");Print(bi);Print(",PermutationMat:");Print(ci);Print(",Tr:");Print(TraceMat(ci));Print("\n");od;
[ 6, 1 ]
[ (), (2,3), (1,2), (1,2,3), (1,3,2), (1,3) ]
[ [ 1, 2, 3, 4, 5, 6 ], [ 2, 1, 4, 3, 6, 5 ], [ 3, 5, 1, 6, 2, 4 ], [ 4, 6, 2, 5, 1, 3 ], [ 5, 3, 6, 1, 4, 2 ],
  [ 6, 4, 5, 2, 3, 1 ] ]
置換陣表示1:
[ [ 1, 0, 0, 0, 0, 0 ], [ 0, 1, 0, 0, 0, 0 ], [ 0, 0, 1, 0, 0, 0 ], [ 0, 0, 0, 1, 0, 0 ], [ 0, 0, 0, 0, 1, 0 ],
  [ 0, 0, 0, 0, 0, 1 ] ],Tr:6
[ [ 1, 0, 0, 0, 0, 0 ], [ 0, 0, 1, 0, 0, 0 ], [ 0, 1, 0, 0, 0, 0 ], [ 0, 0, 0, 1, 0, 0 ], [ 0, 0, 0, 0, 1, 0 ],
  [ 0, 0, 0, 0, 0, 1 ] ],Tr:4
[ [ 0, 1, 0, 0, 0, 0 ], [ 1, 0, 0, 0, 0, 0 ], [ 0, 0, 1, 0, 0, 0 ], [ 0, 0, 0, 1, 0, 0 ], [ 0, 0, 0, 0, 1, 0 ],
  [ 0, 0, 0, 0, 0, 1 ] ],Tr:4
[ [ 0, 1, 0, 0, 0, 0 ], [ 0, 0, 1, 0, 0, 0 ], [ 1, 0, 0, 0, 0, 0 ], [ 0, 0, 0, 1, 0, 0 ], [ 0, 0, 0, 0, 1, 0 ],
  [ 0, 0, 0, 0, 0, 1 ] ],Tr:3
[ [ 0, 0, 1, 0, 0, 0 ], [ 1, 0, 0, 0, 0, 0 ], [ 0, 1, 0, 0, 0, 0 ], [ 0, 0, 0, 1, 0, 0 ], [ 0, 0, 0, 0, 1, 0 ],
  [ 0, 0, 0, 0, 0, 1 ] ],Tr:3
[ [ 0, 0, 1, 0, 0, 0 ], [ 0, 1, 0, 0, 0, 0 ], [ 1, 0, 0, 0, 0, 0 ], [ 0, 0, 0, 1, 0, 0 ], [ 0, 0, 0, 0, 1, 0 ],
  [ 0, 0, 0, 0, 0, 1 ] ],Tr:4
置換陣表示2:
PermList:(),PermutationMat:[ [ 1, 0, 0, 0, 0, 0 ], [ 0, 1, 0, 0, 0, 0 ], [ 0, 0, 1, 0, 0, 0 ], [ 0, 0, 0, 1, 0, 0 ],
  [ 0, 0, 0, 0, 1, 0 ], [ 0, 0, 0, 0, 0, 1 ] ],Tr:6
PermList:(1,2)(3,4)(5,6),PermutationMat:[ [ 0, 1, 0, 0, 0, 0 ], [ 1, 0, 0, 0, 0, 0 ], [ 0, 0, 0, 1, 0, 0 ],
  [ 0, 0, 1, 0, 0, 0 ], [ 0, 0, 0, 0, 0, 1 ], [ 0, 0, 0, 0, 1, 0 ] ],Tr:0
PermList:(1,3)(2,5)(4,6),PermutationMat:[ [ 0, 0, 1, 0, 0, 0 ], [ 0, 0, 0, 0, 1, 0 ], [ 1, 0, 0, 0, 0, 0 ],
  [ 0, 0, 0, 0, 0, 1 ], [ 0, 1, 0, 0, 0, 0 ], [ 0, 0, 0, 1, 0, 0 ] ],Tr:0
PermList:(1,4,5)(2,6,3),PermutationMat:[ [ 0, 0, 0, 1, 0, 0 ], [ 0, 0, 0, 0, 0, 1 ], [ 0, 1, 0, 0, 0, 0 ],
  [ 0, 0, 0, 0, 1, 0 ], [ 1, 0, 0, 0, 0, 0 ], [ 0, 0, 1, 0, 0, 0 ] ],Tr:0
PermList:(1,5,4)(2,3,6),PermutationMat:[ [ 0, 0, 0, 0, 1, 0 ], [ 0, 0, 1, 0, 0, 0 ], [ 0, 0, 0, 0, 0, 1 ],
  [ 1, 0, 0, 0, 0, 0 ], [ 0, 0, 0, 1, 0, 0 ], [ 0, 1, 0, 0, 0, 0 ] ],Tr:0
PermList:(1,6)(2,4)(3,5),PermutationMat:[ [ 0, 0, 0, 0, 0, 1 ], [ 0, 0, 0, 1, 0, 0 ], [ 0, 0, 0, 0, 1, 0 ],
  [ 0, 1, 0, 0, 0, 0 ], [ 0, 0, 1, 0, 0, 0 ], [ 1, 0, 0, 0, 0, 0 ] ],Tr:0
gap> g:=Group((),(1,2)(3,4)(5,6),(1,3)(2,5)(4,6),(1,4,5)(2,6,3),(1,5,4)(2,3,6),(1,6)(2,4)(3,5));;gid:=IdGroup(g);
[ 6, 1 ]

gap> V:=Group((),(1,2)(3,4),(1,3)(2,4),(1,4)(2,3));;IdGroup(V);g:=V;;L:=Irr(g);List(L,DegreeOfCharacter);nat:=NaturalCharacter(g);DegreeOfCharacter(nat);p:=SmallerDegreePermutationRepresentation(g);IdGroup(Image(p));
[ 4, 2 ]
[ Character( CharacterTable( Group([ (), (1,2)(3,4), (1,3)(2,4), (1,4)(2,3) ]) ), [ 1, 1, 1, 1 ] ),
  Character( CharacterTable( Group([ (), (1,2)(3,4), (1,3)(2,4), (1,4)(2,3) ]) ), [ 1, 1, -1, -1 ] ),
  Character( CharacterTable( Group([ (), (1,2)(3,4), (1,3)(2,4), (1,4)(2,3) ]) ), [ 1, -1, 1, -1 ] ),
  Character( CharacterTable( Group([ (), (1,2)(3,4), (1,3)(2,4), (1,4)(2,3) ]) ), [ 1, -1, -1, 1 ] ) ]
[ 1, 1, 1, 1 ]
Character( CharacterTable( Group([ (), (1,2)(3,4), (1,3)(2,4), (1,4)(2,3) ]) ), [ 4, 0, 0, 0 ] )
4
IdentityMapping( Group([ (), (1,2)(3,4), (1,3)(2,4), (1,4)(2,3) ]) )
[ 4, 2 ]

設有限群G:階為g,有n個不等價不可約表示D^i(G), i=1,2,...,n,D^i(G)的維數為m_i,特征標為χ^i(G)
1)正交關系
∑[R∈G]χ^i(R)*χ^j(R)=gδ_ij對群元素求和,特征標作為群空間矢量
∑[a=1->g_c][n(a)/g]^(1/2)χ^i*_a[n(a)/g]^(1/2)χ^j_a=(1/g)∑[a=1->g_c]n(a)χ^i*_aχ^j_a=δ_ij對類求和,特征標作為類空間矢量(加上歸一化系數)
2)完備性
特征標構成類空間完備基,任何類函數都可按其展開
F(R)=F(SRS^-1)=∑[j]C_jχ^j(R)
C_j=(1/g)∑[R∈G]χ^j(R)*F(R)
3)特征標內積
∑[R∈G]χ^i(R)*χ^i(R)=|χ(R)|^2=∑[R∈G]χ(R)*χ(R)
可約表示約化為幾個不可約表示的過程中,有的不可約表示不止出現一次(重數)
X^-1D(R)X=(+)[j]a_jD^j(R)
χ(R)=∑[j]a_jχ^j(R)
a_i=(1/g)∑[R∈G]χ^i(R)*χ(R)
不可約表示:D(R)=D^j(R), χ(R)=χ^j(R)
特征標內積為∑[R∈G]χ^j(R)*χ^j(R)=|χ^j(R)|^2—a_j=1—>∑[R∈G]|χ(R)|^2=g
注意:
有些文獻上定義特征標內積為(χ^i(R)|χ^j(R))=(1/g)∑[R∈G]χ^i(R)*χ^j(R)
則表示不可約的充要條件為(χ(R)|χ(R))=1
4)有限群不等價不可約表示的個數等於群的類數∑[j]1=g_c
維數的平方和等於群的階數∑[j](m_j)^2=g
定義:把有限群G的所有不等價不可約表示的特征標,作為類的函數列出一個表,稱為群G的特征標表。
由八階非交換群D_4和Q_8的特征標表說明不同構的群,可以有相同的特征標表,因此,特征標表所提供的關於群結構的信息是不完全的。
gap> g:=DihedralGroup(8);;cl:=ConjugacyClasses(g);;L1:=List(cl,Representative);;L2:=List(cl,Centralizer);;L3:=List(L2,IdGroup);;L4:=List(cl,Size);;tbl:= CharacterTable( g );;Display( tbl );
CT5

     2  3  2  2  3  2

       1a 2a 4a 2b 2c

X.1     1  1  1  1  1
X.2     1 -1  1  1 -1
X.3     1  1 -1  1 -1
X.4     1 -1 -1  1  1
X.5     2  .  . -2  .
gap> g:=QuaternionGroup(8);;cl:=ConjugacyClasses(g);;L1:=List(cl,Representative);;L2:=List(cl,Centralizer);;L3:=List(L2,IdGroup);;L4:=List(cl,Size);;tbl:= CharacterTable( g );;Display( tbl );
CT6

     2  3  2  2  3  2

       1a 4a 4b 2a 4c
    2P 1a 2a 2a 1a 2a
    3P 1a 4a 4b 2a 4c

X.1     1  1  1  1  1
X.2     1 -1 -1  1  1
X.3     1 -1  1  1 -1
X.4     1  1 -1  1 -1
X.5     2  .  . -2  .



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