十天內掌握線性代數:驚人的超速學習實驗


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剛在譯言看到一篇非常精彩的文章,特意轉載過來讓更多的人分享。

全文目錄

1 篇首語:挑戰MIT計算機課程

2 看我怎么駕馭MIT計算機科學的課程(斯考特·楊)

2.1 為什么臨時抱佛腳沒用?

2.2 你能加速理解嗎?

3 鑽研:你學得更快

3.1 第一階段:知識面覆蓋

3.2 第二階段:練習

3.3 第三階段:自省

4 費曼技巧

4.1 對付你完全摸不着頭腦的概念

4.2 對付各種過程

4.3 對付各種公式

4.4 對付需要記憶的內容

5 形成更深刻的直覺

5.1 類比、可視化、簡化

5.2 學得更快的策略

5.3 鑽研吧,即便你不是學生


1 篇首語:挑戰MIT計算機課程

最近,我的朋友斯考特·楊(Scott Young)成就了一個驚人的壯舉:他在一年之內,完成了傳說中的MIT計算機科學課程表的全部33門課,從線性代數到計算理論。最重要的是,他是自學的,觀看在線教程講座,並用實際的考試作自我評估。(到斯考特的FAQ頁面,看看他如何完成這個挑戰)

他證明了,讀完一門課程,大概只需要1.5個星期。我堅信,能快速掌握復雜信息,對成就卓越事業至關重要(有空看看我的新書)。因此,我很自然地問起斯考特,讓他給我們分享他的學習奧秘。所幸他答應了。接下來是一份斯考特的詳細解說稿,深入剖析他的學習技巧(包括具體例子),展示他如何拿下這MIT挑戰。以下時間交給斯考特……

2 看我怎么駕馭MIT計算機科學的課程(斯考特·楊)

我老想着學快一點,再快一點,並為此興奮不已。掌握那些重要的學問吧,專業知識與嫻熟技藝將是你的職業資本,幫你賺取金錢與享受生活。如果過得好是你的目標,學問能引你到向往之地(書中自有黃金屋,書中自有顏如玉)。

盡管學得更快有很多好處,但大多數人並不願意學習“如何學習”。大概是因為我們不肯相信有這種好事,在我們看來,學習的速度只取決於好基因與天賦。確實總有些人身懷天賦本錢,但研究表明你的學習方法也很重要。更深層次的知識加工,與時而反復的溫故知新,在某些情況下會加倍你的學習效率。是的,“刻意練習”方面的研究表明,沒有正確的方法,學習將永遠停滯。

今天,我想分享一下學習策略,看看我如何在12個月內完成4年MIT計算機科學的課程。這套策略歷經33門課的錘煉,試圖弄清楚學得更快的竅門,哪些方法有用,哪些沒用。

2.1 為什么臨時抱佛腳沒用?

很多學生可能嘲笑我,妄想只花1年的時間學會4年的課程。畢竟,我總可以臨時抱佛腳,什么都不懂還能順利通過考試,不是嗎? 很可惜,這個策略在MIT行不通。首先,MIT的考試苛求解決問題的技巧,還經常出些沒見過的題型。其次,MIT的課程講究循序漸進,就算你能死記硬背僥 幸通過一次考試,同系列課程的第七課可能就跟不上了。除了死記硬背,我不得不另辟蹊徑,加速理解過程。

2.2 你能加速理解嗎?

“啊哈!”當我們終於想通了,都曾經這樣恍然大悟地歡呼過。問題是,大多數人都沒有系統地思考。經典的學生求學之路,就是聽講座,讀書;如果還不 懂,只好枯燥地做大量習題(題海)或重看筆記。沒有系統的方法,想更快地理解似乎是天方夜譚。畢竟,頓悟的心理機制,還全然不知。

更糟的是,理解本身,很難稱得上是一種開關。它像洋蔥的層層表皮,從最膚淺的領會到深層次的理解,逐層鞏固對科學革命的認知。給這樣的洋蔥剝皮,則是常人知之甚少、易被忽略的理解過程。

加速學習的第一步,就是揭秘這個過程。如何洞悉問題,加深你的理解,取決於兩個因素: 1、建立知識聯系; 2、自我調試排錯。知識聯系很重要,因為它們是了解一個想法的接入點。我曾糾結於傅里葉變換,直至我意識到它將壓強轉化為音高、或將輻射轉化為顏色。這些 見解,常在你懂的和你不懂的之間建立聯系。調試排錯也同樣重要,因為你常常犯錯,這些錯誤究根到底,還是知識殘缺,胸無成竹。貧瘠的理解,恰似一個錯漏百 出的軟件程序。如果你能高效地自我調試,必將大大提速學習進程。建立准確的知識聯系與調試排錯,就足夠形成了深刻的問題見解。而機械化技能與死記硬背,通 常也只在你對問題的本質有了肯定的直覺以后,才有所裨益。

3 鑽研(The Drilldown Method):你學得更快

經 年累月,我完善了一個方法,可以加速逐層增進理解的過程。這個方法至今已被我用於各科目的課題,包括數學、生物學、物理學、經濟學與工程學。只需些許修 改,它對掌握實用技能也效果很好,比如編程、設計或語言。這個方法的基本結構是:知識面、練習、自省。我將解釋每個階段,讓你了解如何盡可能有效率地執行 它們,同時給出詳細的例子,展示我是怎么應用在實際課程的。

3.1 第一階段:知識面覆蓋

你不可能組織一場進攻,如果你連一張地形圖都沒有。因此,深入研習的第一步,就是對你需要學習的內容有個大致印象。若在課堂上,這意味着你要看講義或讀課本;若是自學,你可能要多讀幾本同主題的書,相互考證。

學生們常犯的一個錯誤,就是認為這個階段是最重要的。從很多方面來講,這個階段卻是效率最低的,因為你每單位時間的投入只換來了最少量的知識回報。我常常加速完成這個階段,很有好處,這樣,我就可以投入更多時間到后面兩個階段。

如果你在看課程講座的視頻,最好是調到1.5x或2x倍速快進。這很容易做到,只要你下載好視頻,然后使用播放器(如VLC) 的“調速”功能。我用這法子兩天內看完了一學期的課程視頻。如果你在讀一本書,我建議你不要花時間去高亮文本。這樣只會讓你的知識理解停留在低層次,而從 長遠來看,也使學習效率低下。更好的方法是,閱讀時只偶爾做做(稀疏的)筆記,或在讀過每個主要章節后寫一段落的總結。

這里有個例子,是我上機器視覺這門課時的筆記。

3.2 第二階段:練習

做練習題,能極大地促進你的知識理解。但是,如果你不小心,可能會落入兩個效率陷阱: 1、沒有獲得即時的反饋:研究表明,如果你想更好地學習,你需要即時的反饋。因此,做題時最好是答案在手(天下我有),每做完一題就對答案,自我審查。沒 有反饋或反饋遲來的練習,只會嚴重牽制學習效率;2、題海戰術:正如有人以為學習是始於教室終於教室,一些學生也認為大多數的知識理解產自練習題。是的, 你總能通過題海戰術最終搭起知識框架,但過程緩慢、效率低下。

練習題,應該能凸顯你需要建立更好直覺的知識領域。一些技巧,比如我將會談到的費曼技巧(the Feynman technique),對此則相當有效。對於非技術類學科,它更多的是要求你掌握概念而不是解決問題,所以,你常常只需要完成最少量的習題。對這些科目, 你最好花更多的時間在第三階段,形成學科的洞察力。

3.3 第三階段:自省

知識面覆蓋,與做練習題,是為了讓你知道你還有什么不懂。這並不像聽上去那么容易(知之為知之,不知為不知,難矣)。你以為你都懂了,其實不是,所以老犯錯;或者,你對某綜合性學科心里沒底,但又看不確切還有哪里不懂。

接下來的技巧,我稱之為“費曼技巧”,將幫助你查漏補缺,在求知路上走得更遠。當你能准確識別出你不懂的知識點時,這個技巧助你填補知識的缺口,尤 其是那些最難以填補的巨大缺口。這個技巧還能兩用。即使你真的理解了某個想法,它也能讓你關聯更多的想法,於是,你可以繼續鑽研,深化理解。

4 費曼技巧(The Feynman Technique)

這個技巧的靈感,源於諾貝爾物理獎獲得者,理查德·費曼(Richard Feynman)。在他的自傳里,他提到曾糾結於某篇艱深的研究論文。他的辦法是,仔細審閱這篇論文的輔助材料(supporting material),直到他掌握了相關的知識基礎、足以理解其中的艱深想法為止。

費曼技巧,亦同此理。對付一個知識枝節繁雜如發絲、富有內涵的想法,應該分而化之,切成小知識塊,再逐個對付(遞歸),你最終能填補所有的知識缺口,否則,這些缺口將阻撓你理解這個想法。對此,請看這個簡短的教程視頻

費曼技巧很簡單:1、拿張白紙;2、在白紙頂部寫上你想理解的某想法或某過程;3、用你自己的話解釋它,就像你在教給別人這個想法。最要緊的是,對 一個想法分而化之,雖然可能重復解釋某些已經弄懂的知識點。但你最終會到達一個臨界點,無法再解釋清楚。那里正是你需要填補的知識缺口。為了填補這個缺 口,你可以查課本、問老師、或到互聯網搜尋答案。通常來說,一旦你精准地定義了你的不解或誤解,找到確切的答案則相對而言更輕松。

我已經使用過這個費曼技巧有數百次,確信它能應付各種各樣的學習情境。然而,由於學習情境各有特點,它需要靈活變通,似乎顯得難以入門,所以,我將嘗試舉些不同的例子。

4.1 對付你完全摸不着頭腦的概念

對此,我仍堅持使用費曼技巧,但翻開課本,找到解釋這個概念的章節。我先瀏覽一遍作者的解釋,然后仔細地摹仿它,並也試着用自己的思維詳述和闡明它。如此一來,當你不能用自己的話寫下任何解釋時,“引導式”費曼技巧很有用處。這里有個例子,展示我如何理解攝影測量學。

4.2 對付各種過程

你也能通過費曼技巧去了解一個你需要用到的過程。審視所有的步驟,不光解釋每一步在干什么,還要清楚它是怎么執行的。我常這樣理解數學的證明過程、化學的方程式、與生物學的糖酵解過程。這里有個例子,展示我如何想到怎么實現網格加速。

4.3 對付各種公式

公式,應該被理解,而不只是死記硬背。因此,當你看到一個公式,卻無法理解它的運作機理時,試着用費曼技巧分而化之。這里有個例子,展示我如何理解傅里葉分析方程。

4.4 對付需要記憶的內容

費曼技巧,也可以幫你自查是否掌握非技術類學科那些博大精深的知識概念。對於某個主題,如果你能順利應用費曼技巧,而無需參考原始材料(講義、課本等),就證明你已經理解和記住它。這里有個例子,展示我如何回憶起掠奪性定價(經濟學概念)。

5 形成更深刻的直覺(Deeper Intuition)

結合做習題,費曼技巧能幫你剝開知識理解的淺層表皮。但它也能幫你鑽研下去,走得更遠,不只是淺層的理解,而是形成深刻的知識直覺(敏銳的洞察力)。直觀地理解一個想法,並非易事。它看似有些許神秘,但這不是它的本相。一個想法的多數直覺,可作以下歸類:

5.1 類比、可視化、簡化

類比:你理解一個想法,是通過確認它與某個更易理解的想法之間的重要相似點;可視化:抽象概念也常成為有用的直覺,只要我們能在腦海為它們構築畫面 (想象、構圖),即使這個畫面只是一個更大更多樣化想法的不完全表達;簡化:一位著名的科學家曾說過,如果你不能給你的祖母解釋一樣東西,說明你還沒有完 全理解它。簡化是一門藝術,它加強了基礎概念與復雜想法之間的思維聯系。

你可以用費曼技巧去激發這些直覺。對於某個想法,一旦你有了大致的理解,下一步就是深入分析,看能不能用以上三種直覺來闡釋它。期間,就算是借用已 有的意象喻義,也是情有可原的。例如,把復數放到二維空間里理解,很難稱得上是新穎的,但它能讓你很好地可視化這個概念(概念在腦海中構圖成型)。DNA 復制,被想象成拉開一條單向拉鏈,這也不是一個完美的類比,但只要你心里清楚其中的異同,它會變得有用。

5.2 學得更快的策略

在這篇文章里,我描述了學習的三個階段:知識面、練習、與自省。但這可能讓你誤解,錯以為它們總在不同的時期被各自執行,從不重疊或反復。實際上, 隨着不斷地深入理解知識,你可能會周而復始地經歷這些階段。你剛開始讀一個章節,只能有個大概的膚淺印象,但做過練習題和建立了直覺以后,你再回過來重新 閱讀,又會有更深刻的理解(溫故而知新)。

5.3 鑽研吧,即便你不是學生

這個過程不只是適用於學生,也同樣有助於學習復雜技能或積累某話題的專業知識。學習像編程或設計的技能,大多數人遵循前兩個階段。他們閱讀一本相關 的基礎書籍,然后在一個項目里歷練。然而,你能運用費曼技巧更進一步,更好地鎖定與清晰表述你的深刻見解。積累某話題的專業知識,亦同此理;唯一的差別 是,你在建立知識面以前,需要搜集一些學習材料,包括相關的研究文章、書籍等。無論如何,只要你弄清楚了想掌握的知識領域,你就鑽研下去,深入學習它。


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