二分查找以及二分查找的時間復雜度


 看到這個標題無論你是處於怎樣的心理進來看了,我覺得都是值得的。因為這個問題太簡單,任何一個開始接觸“真正”算法基本都是從二分查找開始的。至於二分查找都不知道是什么的可以先去找別的資料看下,再來看這篇文章。既然很簡單,那么我們開始一起寫一個吧,要求是對num[]={1,2,2,4,4,8,10}不減序列在區間[0,7)進行查找,當然我們得首先保證要查找的數e滿足:num[0] <= e <= num[0],這個是很容易做到的,為了簡化又不失去代表性,e選取2、3、4這三個數。我們就一起開始寫吧:

       首先,很容易的寫下 int bSearch(int begin, int end, int e)

       然后,很自然的定義 int mid, left = begin, right = end;

       接下來怎么寫呢?while(left < right)?while(left <= right)?while(mid == left)?while(mid == right)?………………真正一個寫程序人會想糾結好一會兒,我們就選一個吧while(left < right)

       下面,也很自然,min = (left + right) >> 1; 用位雲算能節省一些時間呢!

        現在呢?又是糾結的時候了吧?if(num[mid] > e)?if(num[mid] >= e)?我們也隨便選一個吧,if(num[mid] > e)

        其實,下面你會不斷糾結……right = mid;這是正常人的寫法,但是有時候也會看到別人寫成right = mid - 1;我們也考慮下吧,但是現在我們就直接寫right = mid;

        有if了當然也會有else,然后理所當然 left = mid;同樣記住還有一個選擇left = mid + 1;


不錯,整個while循環搞定了,最后就是返回了,寫下return的時候是不是又糾結了?left?right?mid?算了,就寫mid吧,整個程序就寫好了,如下:

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  1. int bSearch(int begin, int end, int e)  
  2. {  
  3.     int mid, left = begin, right = end;  
  4.     while(left < right)  
  5.     {  
  6.         mid = (left + right) >> 1;  
  7.         if(num[mid] > e) right = mid;  
  8.         else left = mid;  
  9.     }  
  10.     return mid;  
  11. }  

 補充好整個程序后運行吧!查找2、3、4的時候都沒有結果出現!!比如查4的時候,單步調試會發現當mid=4,left=4,right=5,接下來就一直在while里循環,保持不變!問題到底在哪?問題在很多地方,因為我們上面的遇到很多選擇,沒有結果是多個選擇作用的共同的結果,通過修修補補也可以得到想要的結果,其它例子就不舉了,直接說說本文章討論的關鍵吧。我總結的二分無非就4種情況:YES_LEFT、YES_RIGHT、NO_LEFT、NO_RIGHT,分別代表:能找到且返回最左邊的數的位置(如查找4的時候返回位置3)、能找到且返回最右邊的數的位置(如查找4的時候返回位置4)、不能找到且返回左邊與其接近的數的位置(如查找3的時候返回位置2)、不能找到且返回右邊與其接近的數的位置(如查找3的時候返回位置3)。下面是我總結調試的代碼:


對於YES_LEFT或者NO_RIGHT

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  1. int bSearch(int begin, int end, int e)  
  2. {  
  3.     int mid, left = begin, right = end;  
  4.     while(left <= right)  
  5.     {  
  6.         mid = (left + right) >> 1;  
  7.         if(num[mid] >= e) right = mid - 1;  
  8.         else left = mid + 1;  
  9.     }  
  10.     return left;  
  11. }  
對於YES_RIGHT或者NO_LEFT

[cpp]  view plain  copy
 print ?
  1. int bSearch(int begin, int end, int e)  
  2. {  
  3.     int mid, left = begin, right = end;  
  4.     while(left <= right)  
  5.     {  
  6.         mid = (left + right) >> 1;  
  7.         if(num[mid] > e) right = mid - 1;  
  8.         else left = mid + 1;  
  9.     }  
  10.     return right;  
  11. }  

      不做過多說明,單步調試自然會發現執行過程,要說明的是,兩個程序都用了right = mid - 1; left = mid +1;用這個的前提是終止條件要是left <= right。要注意的是,有的二分查找不是只需要四種情況中的一種,而是組合使用,比如查找一個數,如果找到則×××不然則×××,如果是YES_LEFT || NO_RIGHT組合或者YES_RIGHT || NO_LEFT組合就直接用上面代碼即可,否則就要綜合用了,加一些判斷等說明,因為用的時候不多,就不給出代碼了,自己如果遇到可以試着寫寫,當成模板,以后直接用~

       現在,是不是覺得二分查找很容易呢?如果總結過的話……




引用請注明出處:http://blog.csdn.net/int64ago/article/details/7425727


二分查找的基本思想是將n個元素分成大致相等的兩部分,去a[n/2]與x做比較,如果x=a[n/2],則找到x,算法中止;如果x<a[n/2],則只要在數組a的左半部分繼續搜索x,如果x>a[n/2],則只要在數組a的右半部搜索x.

時間復雜度無非就是while循環的次數!

總共有n個元素,

漸漸跟下去就是n,n/2,n/4,....n/2^k,其中k就是循環的次數

由於你n/2^k取整后>=1

即令n/2^k=1

可得k=log2n,(是以2為底,n的對數)

所以時間復雜度可以表示O()=O(logn)


注意!

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