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FFT是離散傅立葉變換的快速算法，可以將一個信號變換到頻域。有些信號在時域上是很難看出什么特征的，但是如果變換到頻域之后，就很容易看出特征了。這就是很多信號分析采用FFT變換的原因。另外，FFT可以將一個信號的頻譜提取出來，這在頻譜分析方面也是經常用的。

雖然很多人都知道FFT是什么，可以用來做什么，怎么去做，但是卻不知道FFT之后的結果是什意思、如何決定要使用多少點來做FFT。

現在就根據實際經驗來說說FFT結果的具體物理意義。一個模擬信號，經過ADC采樣之后，就變成了數字信號。采樣定理告訴我們，采樣頻率要大於信號頻率的兩倍，這些我就不在此啰嗦了。

采樣得到的數字信號，就可以做FFT變換了。N個采樣點，經過FFT之后，就可以得到N個點的FFT結果。為了方便進行FFT運算，通常N取2的整數次方。

假設采樣頻率為Fs，信號頻率F，采樣點數為N。那么FFT之后結果就是一個為N點的復數。每一個點就對應着一個頻率點。這個點的模值，就是該頻率值下的幅度特性。具體跟原始信號的幅度有什么關系呢？假設原始信號的峰值為A，那么FFT的結果的每個點（除了第一個點直流分量之外）的模值就是A的N/2倍。而第一個點就是直流分量，它的模值就是直流分量的N倍。而每個點的相位呢，就是在該頻率下的信號的相位。第一個點表示直流分量（即0Hz），而最后一個點N的再下一個點（實際上這個點是不存在的，這里是假設的第N+1個點，也可以看做是將第一個點分做兩半分，另一半移到最后）則表示采樣頻率Fs，這中間被N-1個點平均分成N等份，每個點的頻率依次增加。例如某點n所表示的頻率為：Fn=(n-1)*Fs/N。由上面的公式可以看出，Fn所能分辨到頻率為為Fs/N，如果采樣頻率Fs為1024Hz，采樣點數為1024點，則可以分辨到1Hz。1024Hz的采樣率采樣1024點，剛好是1秒，也就是說，采樣1秒時間的信號並做FFT，則結果可以分析到1Hz，如果采樣2秒時間的信號並做FFT，則結果可以分析到0.5Hz。如果要提高頻率分辨力，則必須增加采樣點數，也即采樣時間。頻率分辨率和采樣時間是倒數關系。

假設FFT之后某點n用復數a+bi表示，那么這個復數的模就是An=根號a*a+b*b，相位就是Pn=atan2(b,a)。根據以上的結果，就可以計算出n點（n≠1，且n<=N/2）對應的信號的表達式為：An/(N/2)*cos(2*pi*Fn*t+Pn)，即2*An/N*cos(2*pi*Fn*t+Pn)。對於n=1點的信號，是直流分量，幅度即為A1/N。由於FFT結果的對稱性，通常我們只使用前半部分的結果，即小於采樣頻率一半的結果。

下面以一個實際的信號來做說明。假設我們有一個信號，它含有2V的直流分量，頻率為50Hz、相位為-30度、幅度為3V的交流信號，以及一個頻率為75Hz、相位為90度、幅度為1.5V的交流信號。用數學表達式就是如下：S=2+3*cos(2*pi*50*t-pi*30/180)+1.5*cos(2*pi*75*t+pi*90/180)。式中cos參數為弧度，所以-30度和90度要分別換算成弧度。我們以256Hz的采樣率對這個信號進行采樣，總共采樣256點。按照我們上面的分析，Fn=(n-1)*Fs/N，我們可以知道，每兩個點之間的間距就是1Hz，第n個點的頻率就是n-1。我們的信號有3個頻率：0Hz、50Hz、75Hz，應該分別在第1個點、第50個點、第76個點上出現峰值，其它各點應該接近0。實際情況如何呢？我們來看看FFT的結果的模值如圖所示。

從圖中我們可以看到，在第1點、第51點、和第76點附近有比較大的值。我們分別將這三個點附近的數據拿上來細看：
    1點： 512+0i
    2點： -2.6195E-14 - 1.4162E-13i 
    3點： -2.8586E-14 - 1.1898E-13i
    50點：-6.2076E-13 - 2.1713E-12i
    51點：332.55 - 192i
    52點：-1.6707E-12 - 1.5241E-12i
    75點：-2.2199E-13 -1.0076E-12i
    76點：3.4315E-12 + 192i
    77點：-3.0263E-14 +7.5609E-13i
    很明顯，1點、51點、76點的值都比較大，它附近的點值都很小，可以認為是0，即在那些頻率點上的信號幅度為0。接着，我們來計算各點的幅度值。分別計算這三個點的模值，結果如下：
    1點： 512
    51點：384
    76點：192

按照公式，可以計算出直流分量為：512/N=512/256=2；50Hz信號的幅度為：384/(N/2)=384/(256/2)=3；75Hz信號的幅度為192/(N/2)=192/(256/2)=1.5。可見，從頻譜分析出來的幅度是正確的。

然后再來計算相位信息。直流信號沒有相位可言，不用管它。先計算50Hz信號的相位，atan2(-192, 332.55)=-0.5236,結果是弧度，換算為角度就是180*(-0.5236)/pi=-30.0001。再計算75Hz信號的相位，atan2(192, 3.4315E-12)=1.5708弧度，換算成角度就是180*1.5708/pi=90.0002。可見，相位也是對的。根據FFT結果以及上面的分析計算，我們就可以寫出信號的表達式了，它就是我們開始提供的信號。

快速傅里葉變換FFT結果的物理意義，單片機keil C51/avr/dsp程序（已驗證）

#include <reg52.h>    //AT89C52

//#include <iom128.h> //atmeg128
#include <intrinsics.h>
/*********************************************************************
                         快速福利葉變換C函數
函數簡介：此函數是通用的快速傅里葉變換C語言函數，移植性強，以下部分不依
          賴硬件。此函數采用聯合體的形式表示一個復數，輸入為自然順序的復
          數（輸入實數是可令復數虛部為0），輸出為經過FFT變換的自然順序的
          復數
使用說明：使用此函數只需更改宏定義FFT_N的值即可實現點數的改變，FFT_N的
          應該為2的N次方，不滿足此條件時應在后面補0
函數調用：FFT(s);
作    者：吉帥虎
時    間：2010-2-20
版    本：Ver1.0
參考文獻：    
      
**********************************************************************/
#include<math.h>
#define PI 3.1415926535897932384626433832795028841971               //定義圓周率值
#define FFT_N 128                                                   //定義福利葉變換的點數
struct compx {float real,imag;};                                    //定義一個復數結構
struct compx s[FFT_N];                                              //FFT輸入和輸出：從S[1]開始存放，根據大小自己定義

/*******************************************************************
函數原型：struct compx EE(struct compx b1,struct compx b2)  
函數功能：對兩個復數進行乘法運算
輸入參數：兩個以聯合體定義的復數a,b
輸出參數：a和b的乘積，以聯合體的形式輸出
*******************************************************************/
struct compx EE(struct compx a,struct compx b)      
{
 struct compx c;
 c.real=a.real*b.real-a.imag*b.imag;
 c.imag=a.real*b.imag+a.imag*b.real;
 return(c);
}
/*****************************************************************
函數原型：void FFT(struct compx *xin,int N)
函數功能：對輸入的復數組進行快速傅里葉變換（FFT）
輸入參數：*xin復數結構體組的首地址指針，struct型
*****************************************************************/
void FFT(struct compx *xin)
{
  int f,m,nv2,nm1,i,k,l,j=0;
  struct compx u,w,t;
   
   nv2=FFT_N/2;                  //變址運算，即把自然順序變成倒位序，采用雷德算法
   nm1=FFT_N-1;  
   for(i=0;i<nm1;i++)        
   {
    if(i<j)                    //如果i<j,即進行變址
     {
      t=xin[j];           
      xin[j]=xin[i];
      xin[i]=t;
     }
    k=nv2;                    //求j的下一個倒位序
    while(k<=j)               //如果k<=j,表示j的最高位為1   
     {           
      j=j-k;                 //把最高位變成0
      k=k/2;                 //k/2，比較次高位，依次類推，逐個比較，直到某個位為0
     }
   j=j+k;                   //把0改為1
  }
                         
  {
   int le,lei,ip;                            //FFT運算核，使用蝶形運算完成FFT運算
    f=FFT_N;
   for(l=1;(f=f/2)!=1;l++)                  //計算l的值，即計算蝶形級數
           ;
  for(m=1;m<=l;m++)                         // 控制蝶形結級數
   {                                        //m表示第m級蝶形，l為蝶形級總數l=log（2）N
    le=2<<(m-1);                            //le蝶形結距離，即第m級蝶形的蝶形結相距le點
    lei=le/2;                               //同一蝶形結中參加運算的兩點的距離
    u.real=1.0;                             //u為蝶形結運算系數，初始值為1
    u.imag=0.0;
    w.real=cos(PI/lei);                     //w為系數商，即當前系數與前一個系數的商
    w.imag=-sin(PI/lei);
    for(j=0;j<=lei-1;j++)                   //控制計算不同種蝶形結，即計算系數不同的蝶形結
     {
      for(i=j;i<=FFT_N-1;i=i+le)            //控制同一蝶形結運算，即計算系數相同蝶形結
       {
        ip=i+lei;                           //i，ip分別表示參加蝶形運算的兩個節點
        t=EE(xin[ip],u);                    //蝶形運算，詳見公式
        xin[ip].real=xin[i].real-t.real;
        xin[ip].imag=xin[i].imag-t.imag;
        xin[i].real=xin[i].real+t.real;
        xin[i].imag=xin[i].imag+t.imag;
       }
      u=EE(u,w);                           //改變系數，進行下一個蝶形運算
     }
   }
  }
  
}
/************************************************************
函數原型：void main() 
函數功能：測試FFT變換，演示函數使用方法
輸入參數：無
輸出參數：無
************************************************************/
void main()   
{  
  int i;
  for(i=0;i<FFT_N;i++)                           //給結構體賦值
  {
     s[i].real=1+2*sin(2*3.141592653589793*i/FFT_N); //實部為正弦波FFT_N點采樣，賦值為1
     s[i].imag=0;                                //虛部為0
  }
  
  FFT(s);                                        //進行快速福利葉變換
  
  for(i=0;i<FFT_N;i++)                           //求變換后結果的模值，存入復數的實部部分
  s[i].real=sqrt(s[i].real*s[i].real+s[i].imag*s[i].imag);
 
   while(1);
}