快速傅里葉變換FFT結果的物理意義


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FFT是離散傅立葉變換的快速算法,可以將一個信號變換到頻域。有些信號在時域上是很難看出什么特征的,但是如果變換到頻域之后,就很容易看出特征了。這就是很多信號分析采用FFT變換的原因。另外,FFT可以將一個信號的頻譜提取出來,這在頻譜分析方面也是經常用的。

雖然很多人都知道FFT是什么,可以用來做什么,怎么去做,但是卻不知道FFT之后的結果是什意思、如何決定要使用多少點來做FFT。

現在就根據實際經驗來說說FFT結果的具體物理意義。一個模擬信號,經過ADC采樣之后,就變成了數字信號。采樣定理告訴我們,采樣頻率要大於信號頻率的兩倍,這些我就不在此啰嗦了。

采樣得到的數字信號,就可以做FFT變換了。N個采樣點,經過FFT之后,就可以得到N個點的FFT結果。為了方便進行FFT運算,通常N取2的整數次方。

假設采樣頻率為Fs,信號頻率F,采樣點數為N。那么FFT之后結果就是一個為N點的復數。每一個點就對應着一個頻率點。這個點的模值,就是該頻率值下的幅度特性。具體跟原始信號的幅度有什么關系呢?假設原始信號的峰值為A,那么FFT的結果的每個點(除了第一個點直流分量之外)的模值就是A的N/2倍。而第一個點就是直流分量,它的模值就是直流分量的N倍。而每個點的相位呢,就是在該頻率下的信號的相位。第一個點表示直流分量(即0Hz),而最后一個點N的再下一個點(實際上這個點是不存在的,這里是假設的第N+1個點,也可以看做是將第一個點分做兩半分,另一半移到最后)則表示采樣頻率Fs,這中間被N-1個點平均分成N等份,每個點的頻率依次增加。例如某點n所表示的頻率為:Fn=(n-1)*Fs/N。由上面的公式可以看出,Fn所能分辨到頻率為為Fs/N,如果采樣頻率Fs為1024Hz,采樣點數為1024點,則可以分辨到1Hz。1024Hz的采樣率采樣1024點,剛好是1秒,也就是說,采樣1秒時間的信號並做FFT,則結果可以分析到1Hz,如果采樣2秒時間的信號並做FFT,則結果可以分析到0.5Hz。如果要提高頻率分辨力,則必須增加采樣點數,也即采樣時間。頻率分辨率和采樣時間是倒數關系。

假設FFT之后某點n用復數a+bi表示,那么這個復數的模就是An=根號a*a+b*b,相位就是Pn=atan2(b,a)。根據以上的結果,就可以計算出n點(n≠1,且n<=N/2)對應的信號的表達式為:An/(N/2)*cos(2*pi*Fn*t+Pn),即2*An/N*cos(2*pi*Fn*t+Pn)。對於n=1點的信號,是直流分量,幅度即為A1/N。由於FFT結果的對稱性,通常我們只使用前半部分的結果,即小於采樣頻率一半的結果。

下面以一個實際的信號來做說明。假設我們有一個信號,它含有2V的直流分量,頻率為50Hz、相位為-30度、幅度為3V的交流信號,以及一個頻率為75Hz、相位為90度、幅度為1.5V的交流信號。用數學表達式就是如下:S=2+3*cos(2*pi*50*t-pi*30/180)+1.5*cos(2*pi*75*t+pi*90/180)。式中cos參數為弧度,所以-30度和90度要分別換算成弧度。我們以256Hz的采樣率對這個信號進行采樣,總共采樣256點。按照我們上面的分析,Fn=(n-1)*Fs/N,我們可以知道,每兩個點之間的間距就是1Hz,第n個點的頻率就是n-1。我們的信號有3個頻率:0Hz、50Hz、75Hz,應該分別在第1個點、第50個點、第76個點上出現峰值,其它各點應該接近0。實際情況如何呢?我們來看看FFT的結果的模值如圖所示。

從圖中我們可以看到,在第1點、第51點、和第76點附近有比較大的值。我們分別將這三個點附近的數據拿上來細看:
    1點: 512+0i
    2點: -2.6195E-14 - 1.4162E-13i 
    3點: -2.8586E-14 - 1.1898E-13i
    50點:-6.2076E-13 - 2.1713E-12i
    51點:332.55 - 192i
    52點:-1.6707E-12 - 1.5241E-12i
    75點:-2.2199E-13 -1.0076E-12i
    76點:3.4315E-12 + 192i
    77點:-3.0263E-14 +7.5609E-13i
    很明顯,1點、51點、76點的值都比較大,它附近的點值都很小,可以認為是0,即在那些頻率點上的信號幅度為0。接着,我們來計算各點的幅度值。分別計算這三個點的模值,結果如下:
    1點: 512
    51點:384
    76點:192

按照公式,可以計算出直流分量為:512/N=512/256=2;50Hz信號的幅度為:384/(N/2)=384/(256/2)=3;75Hz信號的幅度為192/(N/2)=192/(256/2)=1.5。可見,從頻譜分析出來的幅度是正確的。

然后再來計算相位信息。直流信號沒有相位可言,不用管它。先計算50Hz信號的相位,atan2(-192, 332.55)=-0.5236,結果是弧度,換算為角度就是180*(-0.5236)/pi=-30.0001。再計算75Hz信號的相位,atan2(192, 3.4315E-12)=1.5708弧度,換算成角度就是180*1.5708/pi=90.0002。可見,相位也是對的。根據FFT結果以及上面的分析計算,我們就可以寫出信號的表達式了,它就是我們開始提供的信號。



快速傅里葉變換FFT結果的物理意義,單片機keil C51/avr/dsp程序(已驗證)

#include <reg52.h>    //AT89C52

//#include <iom128.h> //atmeg128
#include <intrinsics.h>
/*********************************************************************
                         快速福利葉變換C函數
函數簡介:此函數是通用的快速傅里葉變換C語言函數,移植性強,以下部分不依
          賴硬件。此函數采用聯合體的形式表示一個復數,輸入為自然順序的復
          數(輸入實數是可令復數虛部為0),輸出為經過FFT變換的自然順序的
          復數
使用說明:使用此函數只需更改宏定義FFT_N的值即可實現點數的改變,FFT_N的
          應該為2的N次方,不滿足此條件時應在后面補0
函數調用:FFT(s);
作    者:吉帥虎
時    間:2010-2-20
版    本:Ver1.0
參考文獻:    
      
**********************************************************************/
#include<math.h>
#define PI 3.1415926535897932384626433832795028841971               //定義圓周率值
#define FFT_N 128                                                   //定義福利葉變換的點數
struct compx {float real,imag;};                                    //定義一個復數結構
struct compx s[FFT_N];                                              //FFT輸入和輸出:從S[1]開始存放,根據大小自己定義

/*******************************************************************
函數原型:struct compx EE(struct compx b1,struct compx b2)  
函數功能:對兩個復數進行乘法運算
輸入參數:兩個以聯合體定義的復數a,b
輸出參數:a和b的乘積,以聯合體的形式輸出
*******************************************************************/
struct compx EE(struct compx a,struct compx b)      
{
 struct compx c;
 c.real=a.real*b.real-a.imag*b.imag;
 c.imag=a.real*b.imag+a.imag*b.real;
 return(c);
}
/*****************************************************************
函數原型:void FFT(struct compx *xin,int N)
函數功能:對輸入的復數組進行快速傅里葉變換(FFT)
輸入參數:*xin復數結構體組的首地址指針,struct型
*****************************************************************/
void FFT(struct compx *xin)
{
  int f,m,nv2,nm1,i,k,l,j=0;
  struct compx u,w,t;
   
   nv2=FFT_N/2;                  //變址運算,即把自然順序變成倒位序,采用雷德算法
   nm1=FFT_N-1;  
   for(i=0;i<nm1;i++)        
   {
    if(i<j)                    //如果i<j,即進行變址
     {
      t=xin[j];           
      xin[j]=xin[i];
      xin[i]=t;
     }
    k=nv2;                    //求j的下一個倒位序
    while(k<=j)               //如果k<=j,表示j的最高位為1   
     {           
      j=j-k;                 //把最高位變成0
      k=k/2;                 //k/2,比較次高位,依次類推,逐個比較,直到某個位為0
     }
   j=j+k;                   //把0改為1
  }
                         
  {
   int le,lei,ip;                            //FFT運算核,使用蝶形運算完成FFT運算
    f=FFT_N;
   for(l=1;(f=f/2)!=1;l++)                  //計算l的值,即計算蝶形級數
           ;
  for(m=1;m<=l;m++)                         // 控制蝶形結級數
   {                                        //m表示第m級蝶形,l為蝶形級總數l=log(2)N
    le=2<<(m-1);                            //le蝶形結距離,即第m級蝶形的蝶形結相距le點
    lei=le/2;                               //同一蝶形結中參加運算的兩點的距離
    u.real=1.0;                             //u為蝶形結運算系數,初始值為1
    u.imag=0.0;
    w.real=cos(PI/lei);                     //w為系數商,即當前系數與前一個系數的商
    w.imag=-sin(PI/lei);
    for(j=0;j<=lei-1;j++)                   //控制計算不同種蝶形結,即計算系數不同的蝶形結
     {
      for(i=j;i<=FFT_N-1;i=i+le)            //控制同一蝶形結運算,即計算系數相同蝶形結
       {
        ip=i+lei;                           //i,ip分別表示參加蝶形運算的兩個節點
        t=EE(xin[ip],u);                    //蝶形運算,詳見公式
        xin[ip].real=xin[i].real-t.real;
        xin[ip].imag=xin[i].imag-t.imag;
        xin[i].real=xin[i].real+t.real;
        xin[i].imag=xin[i].imag+t.imag;
       }
      u=EE(u,w);                           //改變系數,進行下一個蝶形運算
     }
   }
  }
  
}
/************************************************************
函數原型:void main() 
函數功能:測試FFT變換,演示函數使用方法
輸入參數:無
輸出參數:無
************************************************************/
void main()   
{  
  int i;
  for(i=0;i<FFT_N;i++)                           //給結構體賦值
  {
     s[i].real=1+2*sin(2*3.141592653589793*i/FFT_N); //實部為正弦波FFT_N點采樣,賦值為1
     s[i].imag=0;                                //虛部為0
  }
  
  FFT(s);                                        //進行快速福利葉變換
  
  for(i=0;i<FFT_N;i++)                           //求變換后結果的模值,存入復數的實部部分
  s[i].real=sqrt(s[i].real*s[i].real+s[i].imag*s[i].imag);
 
   while(1);
}



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