二元線性不定方程和模線性方程


二元線性不定方程:

有方程ax+by=c;首先必須滿足d=gcd(a,b)|c;否則無解。

所以我們可以用擴歐求出一組關於d特解:ax0'+by0'=d;

所以有特解x0=x0'/d*c,y0=y0'/d*c;

然后我們可以知道a/d(x1-x2)=b/d(y2-y1),b/d|(x1-x2),a/d|(y2-y1);

所以有通解:(x0+k*b/d,y0-k*a/d)。

模線性方程:

ax=b(mod c);變成ax+cy=b;同上可以求出特解和通解;

 1 #define ll long long 
 2 ll e_gcd(ll a,ll b,ll &x,ll &y){
 3     if (b==0){
 4         x=1; y=0; return a;
 5     }
 6     int d=e_gcd(b,a%b,x,y);
 7     int t=x; x=y;
 8     y=t-(a/b)*y;
 9     return d;
10 }
11 void solve(ll a,ll b,ll c){
12     ll x_,y_,d=e_gcd(a,c,x_,y_);
13     if (b%d==0){
14         printf("%lld",((x_*b/d)%c+c)%c);
15     } else printf("Impossible");            
16 }
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