線性代數(新視角)


線性代數(新視角)

1)重新看待Ax=b

對於如下矩陣

 

行視圖(凸優化中的超平面)

2x-y=1

x+y=5

 

 

它的解是(x,y)=(2,3)

 

列視圖(矩陣列的線性組合)

 

 

 

2)線性相關與線性無關

對於一個矩陣,使用一組非全為0的系數,如果任一列可以使用其他列線性表出,那么就稱這組矩陣是線性相關的,否則非相關。

 

3)Span,基和子空間

 

對於下面一個問題,S表示為三維空間中的一個平面,如果任意一個線性無關的矩陣可以將S表示出來,那么這個矩陣就可以稱為S的一組基。

 

4)四個基本的子空間

 

 

5)四個基本的子空間關系圖

對於Ax=b, A的維度是m*n

 

(1)列空間和零空間,

對於Ax=b ,A的列構成的所有線性組合,構成了列空間,維度是r, 是Rn空間中的一個子空間

Ax=0所有解的的集合構成了零空間,維度是n-r,是Rn空間中的一個子空間,列空間和零空間構成了一個完整的Rn空間

(2)行空間和左零空間

對於ATx=b, A的行構成的所有線性組合,構成了行空間,維度是r, 是Rm空間中的一個子空間

ATy=0所有解的的集合構成了左零空間,維度是m-r,是Rm空間中的一個子空間,行空間和左零空間構成了一個完整的Rm空間。

 

利用子空間重新看待線性方程組的解:

 

 


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