給出一棵
這道題顯然是用期望的線性性,但是怎么去拆就會有很大的不同。
首先有一個技巧就是一般來說貢獻可以寫成“期望次數
考慮拆成一對有序點對
具體來說怎么去算呢?
那么我們這里只關心黑點情況以及當前在不在點
記
那么接下來就是考慮這個狀態下下一步轉移到什么狀態,記當前狀態為
同理不難寫出當
對這些方程進行高斯消元就可以了,答案顯然就是枚舉任意一對有序點對計算貢獻。
考慮拆成從每個點出發的期望代價乘上到達每個點的期望次數。
只要沒結束的情況下,從一個點出發的期望顯然就是所有點到它的距離和的平均數。
而與期望次數有關系的,僅僅是當前局面的黑點數量。
然后因為這道題目中高度的對稱性,當黑點數量固定的時候,每個黑(白)點的期望經過次數時一樣的(它甚至不與這個點是誰有關)。
那么這里考慮這樣子去設計DP。令
考慮轉移
分別表示到了一個普通白點,一個普通黑點,或者到了它自己,同理寫出
但是注意,假如我們轉移到一個終止態時,不要加一。因為它不再走出去了。
由於開始時我們從隨機一個點出發,我們需要將每個期望次數都加上
注意到這里轉移既關於
首先我們有
移項,發現
而
那么考慮將每一個狀態都表示成
到
至此,這道題目就做完了,是一道很不錯的概率題。
時間復雜度
空間復雜度
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