最近在學習lsd slam，在depth estimation中，需要用到bayesian estimation, 假設分布為：$y_{n}=N\left ( \Theta, \sigma ^{2} \right )$. 其中$\Theta$為待估計待量，$\sigma$是已知的。在這種情況下，我們假設我們擁有一個conjugate prior $p\left ( \Theta \right )\propto exp\left ( -\frac{1}{2\sigma ^{2}} \left ( \Theta -\mu ^{2} \right )\right )$，即$\Theta \propto N\left ( \mu ,\sigma ^{2} \right )$
下一步，我們需要計算likelihood

$$p\left ( measure\; y_{i} \right )=p\left ( "Y_{i}=y_{i}" \right )=P\left ( y_{i}-\frac{\Delta }{2}\leq Y_{i}\leq y_{i}+\frac{\Delta }{2}|\Theta \right )$$
上述表達式是對連續正態分布的計算公式，取一個很小的 $\Delta$計算出likelihood。對上式進行近似可得 $$\frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma ^{2}}}exp\left ( \frac{-1}{2\delta ^{2}} \left ( y_{i}-\Theta \right )^{2}\right )\Delta$$
由bayes估計可知：
$P\left ( \Theta |D\right )\propto P\left ( D|Theta \right )*P\left ( \Theta \right )$，其中 $P\left ( \Theta |D \right )\propto \coprod_{i=1}^{n}exp\left ( -\frac{1}{2\sigma ^{2}}\left ( y_{i}-\Theta \right )^{2} \right )P\left ( \Theta \right )$，即
$P\left ( \Theta |D \right )\propto exp\left (\sum_{i=1}^{n} -\frac{1}{2\sigma ^{2}}\left ( y_{i}-\Theta \right )^{2} \right )P\left ( \Theta \right )$，對於這里，有一個小的tricky，即可將前面的表達式表達為： $P\left ( \Theta |D \right )\propto exp\left (\sum_{i=1}^{n} -\frac{1}{2\sigma ^{2}}\left ( y_{i}-\bar{y}+\bar{y}-\Theta \right )^{2} \right )P\left ( \Theta \right )$，化簡得: $$P\left ( \Theta |D \right )\propto exp\left ( -\frac{1}{2\sigma ^{2}}\sum_{i=1}^{n}\left ( (y_{i}-\bar{y})^{2}+(\bar{y}-\Theta)^{2} +2* (y_{i}-\bar{y})* (\bar{y}-\Theta)\right ) \right )P\left ( \Theta \right )$$
對於第三項sum之后為0，對於第一項化簡可得：
$$\propto exp\left ( -\frac{1}{2\sigma ^{2}}\left ( n\sigma ^{2}+n\left ( \bar{y}-\Theta \right )^{2} \right ) \right )P\left ( \Theta \right )$$
因此我們可得：
$$P\left ( \Theta \right )\propto exp\left ( -\frac{n\left ( \bar{y}-\Theta \right )^{2}}{2\sigma ^{2}} -\frac{\left ( \Theta -\mu _{0} \right )^{2}}{2\sigma _{0}^{2}} \right )$$
對上式取對數，並對 $\Theta$求偏導數，懶得敲公式了，直接給出所有最后的結果：