最近在學習lsd slam,在depth estimation中,需要用到bayesian estimation, 假設分布為:
yn=N(Θ,σ2)
. 其中
Θ
為待估計待量,
σ
是已知的。在這種情況下,我們假設我們擁有一個conjugate prior
p(Θ)∝exp(−12σ2(Θ−μ2))
,即
Θ∝N(μ,σ2)
下一步,我們需要計算likelihood
p(measureyi)=p("Yi=yi")=P(yi−Δ2≤Yi≤yi+Δ2|Θ)
上述表達式是對連續正態分布的計算公式,取一個很小的
Δ
計算出likelihood。對上式進行近似可得
12πσ2‾‾‾‾‾√exp(−12δ2(yi−Θ)2)Δ
由bayes估計可知:
P(Θ|D)∝P(D|Theta)∗P(Θ)
,其中
P(Θ|D)∝∐ni=1exp(−12σ2(yi−Θ)2)P(Θ)
,即
P(Θ|D)∝exp(∑ni=1−12σ2(yi−Θ)2)P(Θ)
,對於這里,有一個小的tricky,即可將前面的表達式表達為:
P(Θ|D)∝exp(∑ni=1−12σ2(yi−y¯+y¯−Θ)2)P(Θ)
,化簡得:
P(Θ|D)∝exp(−12σ2∑i=1n((yi−y¯)2+(y¯−Θ)2+2∗(yi−y¯)∗(y¯−Θ)))P(Θ)
對於第三項sum之后為0,對於第一項化簡可得:
∝exp(−12σ2(nσ2+n(y¯−Θ)2))P(Θ)
因此我們可得:
P(Θ)∝exp(−n(y¯−Θ)22σ2−(Θ−μ0)22σ20)
對上式取對數,並對
Θ
求偏導數,懶得敲公式了,直接給出所有最后的結果: