[DP] Jzoj P3198 螞蟻尋路

在一個n*m 的棋盤上，每個格子有一個權值，初始時，在某個格子的頂點處一只面朝北的螞蟻，我們只知道它的行走路線是如何轉彎，卻不知道每次轉彎前走了多長。螞蟻轉彎是有一定特點的，即它的轉彎序列一定是如下的形式：
右轉，右轉，左轉，左轉，右轉，右轉…左轉，左轉，右轉，右轉，右轉。
即兩次右轉和兩次左轉交替出現的形式，最后兩次右轉（最后兩次一定是右轉）后再多加一次右轉。我們還知道，螞蟻不會在同一個位置連續旋轉兩次，並且螞蟻行走的路徑除了起點以外，不會到達同一個點多次，它最后一定是回
到起點然后結束自己的行程，而且螞蟻只會在棋盤格子的頂點處轉彎。
設k 為螞蟻左轉的次數除以2，當k=0 時，螞蟻可能行走的路徑如下圖：

轉彎序列為：右轉，右轉，左轉，左轉，右轉，右轉，右轉。
現在已知棋盤大小、每個格子的權值以及左轉次數/2 的值，問螞蟻走出的路徑圍出的封閉圖形，權值之和最大可能是多少。

題解

看完題目，然后隨便畫一畫螞蟻的行走路徑可以發現，它的行走路徑一定是

類似於這種形狀的，也就是一共有2*k+1個長方形組合形成的（k次分隔）

那么答案就是要求2*k+1個矩陣內所有數之和最大值，考慮一下dp

設f[i][j][k][h]為當前這個矩陣的右下角(i,j)，是第k個矩陣，高度為h的最大值，g[i][j][k][h][0/1]為當前這個矩陣的右下角(i,j)，是第k個矩陣，高度大於等於/小於h的最大值

很容易就得出狀態轉移方程為f[i][j][k][h]=max(f[i][j-1][k][h],g[i][j-1][k-1][h][k%2])+sum[i][j]-sum[h-1][j](sum[i][j]表示第j列的前i行的和)

什么意思呢？

①f[i][j-1][k][h]也就是說矩陣還是原來那個，只是列多了一列

②第二個就是從第j列開始新開一個新的矩陣，那么矩陣是一高一低分布的，這個矩陣是高是低取決於第k-1個是高是低

按照定義的性質從高到低和從低到高分別掃一遍，轉移為g[i][j][k][h][0]=max(g[i][j][k][h -1][0],f[i][j][k][h -1])，g[i][j][k][h][1]=max(g[i][j][k][h+1][1],f[i][j][k][h+1])

代碼

 1 #include <cstdio>
 2 #include <iostream>
 3 #include <cstring>
 4 using namespace std;
 5 const int N=210,inf=1e9;
 6 int n,m,k,a[N][N],s[N][N],f[N][N][N],g[N][N][N][3],ans=-inf;
 7 int main()
 8 {
 9     scanf("%d%d%d",&n,&m,&k),k=k*2+1;
10     for (int i=1;i<=n;i++) for (int j=1;j<=m;j++) scanf("%d",&a[i][j]),s[i][j]=s[i-1][j]+a[i][j];
11     for (int i=1;i<=k;i++) for (int j=1;j<=n;j++) f[0][i][j]=g[0][i][j][0]=g[0][i][j][1]=-inf;
12     for (int i=1;i<=n;i++)
13         for (int j=1;j<=m;j++)
14         {
15             for (int p=1;p<=k;p++)
16             {
17                 for (int q=i;q>=1;q--) f[j][p][q]=max(f[j-1][p][q],g[j-1][p-1][q][p%2])+s[i][j]-s[q-1][j];
18                 g[j][p][1][0]=-inf;
19                 for (int q=2;q<=i;q++) g[j][p][q][0]=max(g[j][p][q-1][0],f[j][p][q-1]);
20                 g[j][p][i][1]=-inf;
21                 for (int q=i-1;q>=1;q--) g[j][p][q][1]=max(g[j][p][q+1][1],f[j][p][q+1]);
22             }
23             ans=max(ans,max(f[j][k][i],g[j][k][i][0]));
24         }
25     printf("%d",ans);
26 }

Description

Input

Output

Sample Input

Sample Output

Data Constraint

Hint

題解

代碼

注意！