【BZOJ5292】[BJOI2018]治療之雨(高斯消元)


【BZOJ5292】[BJOI2018]治療之雨(高斯消元)

題面

BZOJ
洛谷

題解

\(f[i]\)表示剩余\(i\)點生命時的期望死亡的次數。
考慮打\(k\)次下來臉上被打了\(i\)下的概率:\(\displaystyle \frac{{k\choose i}m^{k-i}}{(m+1)^k}\)
\(m=0\)時全部打臉上了,直接判掉。
\(P[i][j]\)表示\(i\)點血量奶完后再被打一輪下來變成\(j\)點血的概率,這個很容易算出來。
那么我們可以列出和\(f[i]\)相關的\(n+1\)個方程。
比如說:
\[\begin{cases} f[0]=0\\ f[1]=P[1][0]*f[0]+P[1][1]*f[1]+P[1][2]*f[2]+1\\ ...\\ f[n]=P[n][0]*f[0]+P[n][1]*f[1]+P[n][2]*f[2]+...+P[n][n]*f[n]+1 \end{cases}\]
考慮怎么解這個玩意,首先肯定可以高斯消元三方解決。
這個矩陣觀察后發現類似於一個下三角矩陣,那么每次用第\(i\)行消掉\(i-1\)行,這樣子就是一個下三角了,然后從上往下就可以直接求解。
還有一種方法就是移項后不難發現\(f[1]\)只和\(f[2]\)相關,因此可以設\(f[1]=x\),這樣子其他所有數都可以通過\(x\)給表示出來,最后帶到\(f[n]\)的方程里就可以解出\(x\)

#include<iostream>
#include<cstdio>
using namespace std;
#define ll long long
#define MAX 1600
#define MOD 1000000007
void add(int &x,int y){x+=y;if(x>=MOD)x-=MOD;}
inline int read()
{
    int x=0;bool t=false;char ch=getchar();
    while((ch<'0'||ch>'9')&&ch!='-')ch=getchar();
    if(ch=='-')t=true,ch=getchar();
    while(ch<='9'&&ch>='0')x=x*10+ch-48,ch=getchar();
    return t?-x:x;
}
int fpow(int a,int b){int s=1;while(b){if(b&1)s=1ll*s*a%MOD;a=1ll*a*a%MOD;b>>=1;}return s;}
int n,p,m,k;
int P[MAX],a[MAX][MAX];
int A[MAX],B[MAX];
int main()
{
    int T=read();
    while(T--)
    {
        n=read();p=read();m=read();k=read();
        if(!k){puts("-1");continue;}
        if(m==0)
        {
            int cnt=0;if(k==1){puts("-1");continue;}
            while(p>0)++cnt,p=min(n,p+1)-k;
            printf("%d\n",cnt);continue;
        }
        for(int i=0;i<=n;++i)P[i]=0;
        int invm1=fpow(m+1,MOD-2);P[0]=1;
        for(int i=1;i<n&&i<=k;++i)P[i]=1ll*P[i-1]*fpow(i,MOD-2)%MOD*(k-i+1)%MOD;
        for(int i=0;i<n&&i<=k;++i)P[i]=1ll*P[i]*fpow(m,k-i)%MOD*fpow(fpow(m+1,k),MOD-2)%MOD;
        if(k>=n){P[n]=1;for(int i=0;i<n;++i)P[n]=(P[n]+MOD-P[i])%MOD;}
        for(int i=0;i<=n;++i)
            for(int j=0;j<=n;++j)a[i][j]=0;
        for(int i=1;i<n;++i)
            for(int j=1;j<=i+1;++j)
                add(a[i][j],(1ll*invm1*P[i-j+1]+1ll*m*invm1%MOD*P[i-j])%MOD);
        for(int i=1;i<=n;++i)add(a[n][i],P[n-i]);
        for(int i=0;i<=n;++i)A[i]=B[i]=0;
        A[1]=1;B[1]=0;
        for(int i=1;i<n;++i)
        {
            int sa=A[i],sb=(MOD-1+B[i])%MOD;
            for(int j=1;j<=i;++j)sa=(sa+MOD-1ll*a[i][j]*A[j]%MOD)%MOD;
            for(int j=1;j<=i;++j)sb=(sb+MOD-1ll*a[i][j]*B[j]%MOD)%MOD;
            int v=fpow(a[i][i+1],MOD-2);
            A[i+1]=1ll*sa*v%MOD;B[i+1]=1ll*sb*v%MOD;
        }
        int sa=A[n],sb=(MOD-B[n]+1)%MOD;
        for(int i=1;i<=n;++i)sa=(sa+MOD-1ll*a[n][i]*A[i]%MOD)%MOD;
        for(int i=1;i<=n;++i)sb=(sb+1ll*a[n][i]*B[i])%MOD;
        int x=1ll*sb*fpow(sa,MOD-2)%MOD;
        int ans=(1ll*A[p]*x+B[p])%MOD;
        printf("%d\n",ans);
        continue;
    }
}

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