線性代數之矩陣代數


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回憶學校的美好時光,順便復習一下學校學過的知識吧。

1. 設A,B為可以相乘的矩陣,AB的每一列都是A的各列的線性組合,以B的對應列的元素為權。

    同樣,AB的每一行都是B的各行的線性組合,以A的對應行的元素為權。

    例如,AB的第m列是以B的第m列為權的A的各列的線性組合;

            AB的第n行是以A的第n行為權的B的各行的線性組合。

    所以,AB的某列與B的非對應列無關;

            AB的某行與A的非對應行無關。

2. 矩陣乘法恆等式:ImA = A = AIn

3. 逆矩陣的概念僅對方陣有意義。

4. 若A可逆,則對每一Rn中的b,方程Ax=b有唯一解x=A-1b

5. 初等矩陣:將單位矩陣進行一次初等行變換所得的矩陣。

6. 對mxn矩陣A進行初等行變換所得的矩陣,等於對單位矩陣進行相同行變換所得初等矩陣與A相乘的結果。

    設對單位矩陣Im進行初等行變換所得初等矩陣為E,對A進行相同初等行變換的結果可寫為EA。

    因為初等行變換可逆,所以必有另一行變換將E變回I。設該“另一行變換”對應初等矩陣為F,結合上一行,F對E的作用可寫為FE=I。

    因此,每個初等矩陣均可逆。

7. 當n階方陣A行等價於In時,A可逆。此時,將A變為In的一系列初等行變換同時將In變為A-1

8. 求A-1:將增廣矩陣 [A  I] 進行行化簡,若A可逆,則 [A  I] ~ [I  A-1]

    將 [A  I] 行變換為[I  A-1]的過程可看作解n個方程組:

    Ax=e1, Ax=e2, ... Ax=en

    這n個方程組的“增廣列”都放在A的右側,就構成矩陣

    [A  e1  e2 ... en] = [A  I]

    如果我們只需要A-1的某一列或某幾列,例如需要A-1的j列,只需解方程組Ax=ej,而不需要求出整個A-1

    [注:根據此條可以導出利用克拉默法則求逆矩陣的公式]

9. 可逆矩陣定理

    對於n階方陣,以下命題等價:

    a) A可逆

    b) A與n階單位矩陣等價

    c) A有n個主元位置

    d) 方程Ax=0僅有平凡解

    e) A各列線性無關

    f) 線性變換x|->Ax是一對一的

    g) 對Rn中任意b,Ax=b至少有一個解(有且僅有唯一解?)

    h) A各列生成Rn

    i) 線性變換x|->Ax將Rn映上到Rn

    j) 存在nxn階矩陣B,使AB=BA=I

    k) AT可逆

    l) A的列向量構成Rn的一個基

    m) ColA=Rn

    n) dim(Col(A))=n

    o) rank(A)=n

    p) Nul(A)=0

    q) dim(Nul(A))=0

    r) det(A)≠0   <=>  A可逆

    s) A可逆當且僅當0不是A的特征值

    t) A可逆當且僅當A的行列式不等於零

    再次強調,以上命題僅對n階方陣等價。對於mxn(m≠n)則未必

10. 分塊矩陣乘法

    兩個矩陣A、B相乘,要求A的列數等於B的行數,因此若要使分塊后的矩陣能夠應用乘法,分塊時A的列分法必須與B的行分法一致,而A的行分法與B的列分法可以任意。

    例如A有5列B有5行,A分塊為3列/2列,那么B就要分為3行/2行。

11. 按上一項所述,如果將A的每一列都分作為一塊,同樣將B的每一行都分作為一塊,那么就可以得到:

    AB = [col1(A)  col2(A) ... coln(A)] [row1(B)  row2(B) ... rown(B)]T

         = sigma(colk(A)rowk(B))    (1 ≤ k ≤ n)

        每個colk(A)rowk(B)本身也是一個mxp矩陣(假設A為mxn矩陣,B為nxp矩陣)。

12. 單位下三角矩陣的逆也是單位下三角矩陣。

13. LU分解

          如果A可化為階梯形U,且化簡過程中僅使用行倍加變換(將一行倍數加到它下面的另一行),那么由於每次初等變換均等價於相應初等矩陣與A相乘,所以A到U的變換過程可表示為:

         Ep...E1A=U

         於是A可表示為A=LU,其中L=(Ep...E1)-1,即L=E1-1...Ep-1

         由於單位下三角矩陣的逆也是單位下三角矩陣,所以L為單位下三角矩陣。

         LU分解可用於解下述一系列方程:

         Ax1=b1, Ax2=b2, Ax3=b3...

         對上述系列方程,將A作LU分解快於對A求逆然后分別求A-1b1, A-1b2,...

14. 向量空間:向量集中的向量滿足加法交換律和結合律、標量乘法交換律和結合律、存在零向量和負向量,以上運算結果仍在該集合中。

15. 子空間:非空,對加法和標量乘法封閉(非空且封閉則必包含零向量)。

16. 若v1, v2, ... vp在V中,Span(v1, v2, ... vp)是V的子空間。

17. 設A為mxn矩陣,滿足Ax=0的x集合是A的零空間,是Rn的子空間,空間中的任意向量v滿足Av=0。

18. 設A為mxn矩陣,A的列的所有線性組合是A的列空間,是Rm的子空間,空間中的任意向量v使方程Ax=v相容。

19. 子空間的維與向量的維:向量中元素數量是向量的維;子空間的基的向量的數量是子空間的維。

20. 矩陣A的行空間的維=列空間的維=rank(A)

21. 若A有n列,那么rank(A) + dim(Nul(A)) = n

22. 矩陣的主元列構成列空間的基

23. 若A,B均為nxn矩陣,則detAB=(detA)(detB)    [注:一般來說det(A+B)≠detA+detB]

24. 若A為nxn矩陣,且除了其中一列以外其他各列固定,那么detA是那個可變列的線性函數

25. 若A是一個2x2矩陣,那么由A的列確定的平行四邊形面積為|detA|

      若A是一個3x3矩陣,那么由A的列確定的平行六面體的體積為|detA|

      (若A為2x2矩陣,兩列為v1,v2,那么平行四邊形的四個頂點為0,v1,v2,v1+v2)

      (若A為3x3矩陣,三列為v1,v2,v3,那么平行六面體的八個頂點為0,v1,v2,v3,v1+v2,v1+v3,v2+v3,v1+v2+v3)

26. 若T: R2->R2是由一個2x2矩陣A確定的線性變換,S是R2中的一個平行四邊形,則:

      T(s)的面積=|detA|·S的面積

 


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