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回憶學校的美好時光，順便復習一下學校學過的知識吧。

1. 設A，B為可以相乘的矩陣，AB的每一列都是A的各列的線性組合，以B的對應列的元素為權。

    同樣，AB的每一行都是B的各行的線性組合，以A的對應行的元素為權。

    例如，AB的第m列是以B的第m列為權的A的各列的線性組合；

            AB的第n行是以A的第n行為權的B的各行的線性組合。

    所以，AB的某列與B的非對應列無關；

            AB的某行與A的非對應行無關。

2. 矩陣乘法恆等式：I_mA = A = AI_n

3. 逆矩陣的概念僅對方陣有意義。

4. 若A可逆，則對每一Rⁿ中的b，方程Ax=b有唯一解x=A^-1b

5. 初等矩陣：將單位矩陣進行一次初等行變換所得的矩陣。

6. 對mxn矩陣A進行初等行變換所得的矩陣，等於對單位矩陣進行相同行變換所得初等矩陣與A相乘的結果。

    設對單位矩陣I_m進行初等行變換所得初等矩陣為E，對A進行相同初等行變換的結果可寫為EA。

    因為初等行變換可逆，所以必有另一行變換將E變回I。設該“另一行變換”對應初等矩陣為F，結合上一行，F對E的作用可寫為FE=I。

    因此，每個初等矩陣均可逆。

7. 當n階方陣A行等價於I_n時，A可逆。此時，將A變為I_n的一系列初等行變換同時將I_n變為A^-1。

8. 求A^-1：將增廣矩陣 [A  I] 進行行化簡，若A可逆，則 [A  I] ~ [I  A^-1]

    將 [A  I] 行變換為[I  A^-1]的過程可看作解n個方程組：

    Ax=e₁, Ax=e₂, ... Ax=e_n

    這n個方程組的“增廣列”都放在A的右側，就構成矩陣

    [A  e₁  e_{2 ...} e_n] = [A  I]

    如果我們只需要A^-1的某一列或某幾列，例如需要A^-1的j列，只需解方程組Ax=e_j，而不需要求出整個A^-1。

    [注：根據此條可以導出利用克拉默法則求逆矩陣的公式]

9. 可逆矩陣定理

    對於n階方陣，以下命題等價：

    a) A可逆

    b) A與n階單位矩陣等價

    c) A有n個主元位置

    d) 方程Ax=0僅有平凡解

    e) A各列線性無關

    f) 線性變換x|->Ax是一對一的

    g) 對Rⁿ中任意b，Ax=b至少有一個解（有且僅有唯一解？）

    h) A各列生成Rⁿ

    i) 線性變換x|->Ax將Rⁿ映上到Rⁿ

    j) 存在nxn階矩陣B，使AB=BA=I

    k) A^T可逆

    l) A的列向量構成Rⁿ的一個基

    m) ColA=Rⁿ

    n) dim(Col(A))=n

    o) rank(A)=n

    p) Nul(A)=0

    q) dim(Nul(A))=0

    r) det(A)≠0   <=>  A可逆

    s) A可逆當且僅當0不是A的特征值

    t) A可逆當且僅當A的行列式不等於零

    再次強調，以上命題僅對n階方陣等價。對於mxn（m≠n）則未必

10. 分塊矩陣乘法

    兩個矩陣A、B相乘，要求A的列數等於B的行數，因此若要使分塊后的矩陣能夠應用乘法，分塊時A的列分法必須與B的行分法一致，而A的行分法與B的列分法可以任意。

    例如A有5列B有5行，A分塊為3列/2列，那么B就要分為3行/2行。

11. 按上一項所述，如果將A的每一列都分作為一塊，同樣將B的每一行都分作為一塊，那么就可以得到：

    AB = [col₁(A)  col₂(A) ... col_n(A)] [row₁(B)  row₂(B) ... row_n(B)]^T

         = sigma(col_k(A)row_k(B))    (1 ≤ k ≤ n)

        每個col_k(A)row_k(B)本身也是一個mxp矩陣（假設A為mxn矩陣，B為nxp矩陣）。

12. 單位下三角矩陣的逆也是單位下三角矩陣。

13. LU分解

          如果A可化為階梯形U，且化簡過程中僅使用行倍加變換（將一行倍數加到它下面的另一行），那么由於每次初等變換均等價於相應初等矩陣與A相乘，所以A到U的變換過程可表示為：

         E_p...E₁A=U

         於是A可表示為A=LU，其中L=(E_p...E₁)^-1，即L=E₁^-1...E_p^-1

         由於單位下三角矩陣的逆也是單位下三角矩陣，所以L為單位下三角矩陣。

         LU分解可用於解下述一系列方程：

         Ax₁=b₁, Ax₂=b₂, Ax₃=b₃...

         對上述系列方程，將A作LU分解快於對A求逆然后分別求A^-1b₁, A^-1b₂,...

14. 向量空間：向量集中的向量滿足加法交換律和結合律、標量乘法交換律和結合律、存在零向量和負向量，以上運算結果仍在該集合中。

15. 子空間：非空，對加法和標量乘法封閉（非空且封閉則必包含零向量）。

16. 若v1, v2, ... vp在V中，Span(v1, v2, ... vp)是V的子空間。

17. 設A為mxn矩陣，滿足Ax=0的x集合是A的零空間，是Rⁿ的子空間，空間中的任意向量v滿足Av=0。

18. 設A為mxn矩陣，A的列的所有線性組合是A的列空間，是R^m的子空間，空間中的任意向量v使方程Ax=v相容。

19. 子空間的維與向量的維：向量中元素數量是向量的維；子空間的基的向量的數量是子空間的維。

20. 矩陣A的行空間的維=列空間的維=rank(A)

21. 若A有n列，那么rank(A) + dim(Nul(A)) = n

22. 矩陣的主元列構成列空間的基

23. 若A，B均為nxn矩陣，則detAB=(detA)(detB)    [注：一般來說det(A+B)≠detA+detB]

24. 若A為nxn矩陣，且除了其中一列以外其他各列固定，那么detA是那個可變列的線性函數

25. 若A是一個2x2矩陣，那么由A的列確定的平行四邊形面積為|detA|

      若A是一個3x3矩陣，那么由A的列確定的平行六面體的體積為|detA|

      （若A為2x2矩陣，兩列為v1，v2，那么平行四邊形的四個頂點為0，v1，v2，v1+v2）

      （若A為3x3矩陣，三列為v1，v2，v3，那么平行六面體的八個頂點為0，v1，v2，v3，v1+v2，v1+v3，v2+v3，v1+v2+v3）

26. 若T: R²->R²是由一個2x2矩陣A確定的線性變換，S是R²中的一個平行四邊形，則：

      T(s)的面積=|detA|·S的面積