51NOD 1247 可能的路徑 GCD


1247 可能的路徑
題目來源: HackerRank
基准時間限制:1 秒 空間限制:131072 KB 分值: 20 難度:3級算法題 收藏 關注
在一個無限大的二維網格上,你站在(a,b)點上,下一步你可以移動到(a + b, b), (a, a + b), (a - b, b), 或者 (a, a - b)這4個點。
給出起點坐標(a,b),以及終點坐標(x,y),問你能否從起點移動到終點。如果可以,輸出"Yes",否則輸出"No"
例如:(1,1) 到 (2,3),(1,1) -> (2,1) -> (2,3)。
Input
1行:一個數T,表示輸入的測試數量(1 <= T <= 5000)
2 - T + 1行:每行4個數,a, b, x, y,中間用空格分隔(1 <= a, b, x, y <= 10^18)
Output
輸出共T行,每行對應1個結果,如果可以,輸出"Yes",否則輸出"No"
Input示例
2
1 1 2 3
2 1 2 3
Output示例
Yes
Yes
李陶冶 (題目提供者)

這題腦洞太大了….


① (a,b)可以到達(b,a)
證明: (a,b)->(a+b,b)->(a+b,a)->(b,a)

② 如果(a,b)能到達(x,y),那(x,y)也能到達(a,b)
這個條件 只需要證明 (a+b,b) , (a-b,b) , (a,a+b) , (a,a-b)都能回退到(a,b)即可

(a+b,b)->(a,b)
(a-b,b)->(a,b)
(a,a+b)->(a+b,a)->(a+b,b)->(a,b)
(a,a-b)->(a,b)

然后…就開始腦洞了…

(a,b)->(a-b,b)->(a-2b,b)->....->(a-nb,b)
當n = a/b 時
(a-nb,b) = (a%b,b)
(a%b,b)->(b,a%b)
令a_=b , b_ = a%b 繼續重復...
(a_,b_)->(b_,a_%b_) 這不就是gcd的過程嗎....
令c = gcd(a,b)
也就是說 (a,b)->(c,c)

如果gcd(x,y)=c(c,c)->(x,y)也是可達的
那就有(a,b)->(c,c)->(x,y)
#include<iostream>
#include<stdlib.h>
#include<stdio.h>
#include<string>
#include<vector>
#include<deque>
#include<queue>
#include<algorithm>
#include<set>
#include<map>
#include<stack>
#include<time.h>
#include<math.h>
#include<list>
#include<cstring>
#include<fstream>
#include<queue>
#include<sstream>
//#include<memory.h>
using namespace std;
#define ll long long
#define ull unsigned long long
#define pii pair<int,int>
#define INF 1000000007
#define pll pair<ll,ll>
#define pid pair<int,double>

ll gcd(ll a,ll b){
return b?gcd(b,a%b):a;
}

int main()
{
//freopen("/home/lu/Documents/r.txt","r",stdin);
//freopen("/home/lu/Documents/w.txt","w",stdout);
int T;
scanf("%d",&T);
while(T--){
ll a,b,x,y;
scanf("%lld%lld%lld%lld",&a,&b,&x,&y);
puts(gcd(a,b)==gcd(x,y)?"Yes":"No");
}
return 0;
}

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