线性代数(新视角)


线性代数(新视角)

1)重新看待Ax=b

对于如下矩阵

 

行视图(凸优化中的超平面)

2x-y=1

x+y=5

 

 

它的解是(x,y)=(2,3)

 

列视图(矩阵列的线性组合)

 

 

 

2)线性相关与线性无关

对于一个矩阵,使用一组非全为0的系数,如果任一列可以使用其他列线性表出,那么就称这组矩阵是线性相关的,否则非相关。

 

3)Span,基和子空间

 

对于下面一个问题,S表示为三维空间中的一个平面,如果任意一个线性无关的矩阵可以将S表示出来,那么这个矩阵就可以称为S的一组基。

 

4)四个基本的子空间

 

 

5)四个基本的子空间关系图

对于Ax=b, A的维度是m*n

 

(1)列空间和零空间,

对于Ax=b ,A的列构成的所有线性组合,构成了列空间,维度是r, 是Rn空间中的一个子空间

Ax=0所有解的的集合构成了零空间,维度是n-r,是Rn空间中的一个子空间,列空间和零空间构成了一个完整的Rn空间

(2)行空间和左零空间

对于ATx=b, A的行构成的所有线性组合,构成了行空间,维度是r, 是Rm空间中的一个子空间

ATy=0所有解的的集合构成了左零空间,维度是m-r,是Rm空间中的一个子空间,行空间和左零空间构成了一个完整的Rm空间。

 

利用子空间重新看待线性方程组的解:

 

 


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