线性代数——矩阵二


1.转置矩阵

将矩阵A的行和列互换得到的矩阵称为矩阵A的转置矩阵,记为AT

(AB)T=BTAT

2.逆矩阵

设矩阵A和B都是n阶方阵,若AB=E则称B是A的逆矩阵。

(AB)-1=B-1A-1

3.相似矩阵

设A,B为n阶 矩阵,如果有n阶 可逆矩阵P存在,使得P -1AP=B则称矩阵A与B相似,记为A~B。

4.奇异与非奇异矩阵

若n阶方阵A的行列式等于0则称方阵A是奇异矩阵,若n阶方阵A的行列式不等于0,则称A为非奇异矩阵。

判断条件:

(1)首先,看这个矩阵是不是方阵(即行数和列数相等的矩阵。若行数和列数不相等,那就谈不上奇异矩阵和非奇异矩阵)。

(2)此矩阵的行列式|A|是否等于0,若等于0,称矩阵A为奇异矩阵;若不等于0,称矩阵A为非奇异矩阵。 同时,由|A|≠0可知矩阵A可逆,这样可以得出另外一个重要结论:可逆矩阵就是非奇异矩阵,非奇异矩阵也是可逆矩阵。 如果A为奇异矩阵,则AX=0有无穷解,AX=b有无穷解或者无解。如果A为非奇异矩阵,则AX=0有且只有唯一零解,AX=b有唯一解。

5.正交矩阵

若n阶矩阵A满足ATA=E,则称A为正交矩阵。

6.合同矩阵

设A,B都是n阶方阵,若存在可逆矩阵C,使得CTAC=B,则称A和B 合同。

 


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