斐波那契数列问题


大家都知道斐波那契数列(0 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55  ......)

现在要求输入一个整数n,请你输出斐波那契数列的第n项。


分析:

这个题可以说是迭代(Iteration) VS 递归(Recursion) f(n) = f(n-1) + f(n-2),第一眼看就是递归啊,简直完美的递归环境,递归肯定很爽,这样想着关键代码两三行就搞定了,注意这题的n是从0开始的:
public class Solution {
public int Fibonacci(int n) {
if(n <= 1)
return n;
else
<span style="white-space:pre"></span> return Fibonacci(n-1)+Fibonacci(n-2);
}
}

然而并没有什么用,测试用例里肯定准备着一个超大的n来让Stack Overflow,为什么会溢出?因为重复计算,而且重复的情况还很严重,举个小点的例子,n=4,看看程序怎么跑的:Fibonacci(4) = Fibonacci(3) + Fibonacci(2);                    = Fibonacci(2) + Fibonacci(1) + Fibonacci(1) + Fibonacci(0);
                    = Fibonacci(1) + Fibonacci(0) + Fibonacci(1) + Fibonacci(1) + Fibonacci(0);
由于我们的代码并没有记录Fibonacci(1)和Fibonacci(0)的结果,对于程序来说它每次递归都是未知的,因此光是n=4时f(1)就重复计算了3次之多。那么如何求解呢,动态规划似乎不错,关于动态规划三个条件:最优子结构、无后效性、子问题重叠这些就不谈了,因为理论性太强了。下例是一个简单的动态规划,以一定的空间代价避免代价更大的重复计算的栈空间浪费:
public class Solution {
public int Fibonacci(int n) {
if(n <= 1) return n;
int[] record = new int[n+1];
record[0] = 0;
record[1] = 1;
for(int i = 2; i < n+1; i ++){
record[i] = record[i-1] + record[i-2];
}
return record[n];
}
}

虽然看起来很蠢,空间浪费了sizeof(int)*(n-1),但是对于那个超大n的测试用例应该是可以通过了,时间复杂度也达到了O(n)。



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